Незалежність (теорія ймовірностей)

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

У теорії ймовірностей дві випадкові події називаються незалежними, якщо настання однієї з них не змінює вірогідність настання іншої. Аналогічно, дві випадкові величини називають незалежними якщо значення однієї з них не впливає на розподіл значень іншої[1].

Незалежні події[2][ред.ред. код]

Вважатимемо, що дано фіксований ймовірнісний простір .

Означення 1. Дві події називають незалежними, якщо

.

Зауваження 1. В тому випадку, якщо ймовірність однієї події, скажемо ненульова, тобто , визначення незалежності еквівалентне:

,

тобто умовна ймовірність події за умови дорівнює безумовній вірогідності події .

Означення 2. Нехай є сімейство (скінченне або нескінченне) випадкових подій , де  — довільна індексна множина. Тоді ці події є попарно незалежними, якщо будь-які дві події з цього сімейства незалежні, тобто

.

Означення 3. Нехай є сімейство (скінчене або нескінчене) випадкових подій . Тоді ці події сукупно незалежні, якщо для будь-якого кінцевого набору цих подій вірно:

.

Приклад 1. Монета кидається двічі. Ймовірність появи герба в першому випробуванні не залежить від появи чи відсутності герба в другому випробуванні. В свою чергу, ймовірність того, що герб випаде в другому випробуванні не залежить від результатів першого випробування. Отже, події А — «поява герба в першому випробуванні» і В — «поява герба в другому випробуванні» — незалежні.

Приклад 2. В урні 5 білих і 4 чорних кульки. Із неї навмання беруть кульку. Ймовірність появи білої кульки (подія А) дорівнює . Взяту кульку повертають в урну і продовжують випробування. Ймовірність появи білої кульки при другому випробуванні (подія В), також дорівнює . В свою чергу, ймовірність витягти білу кульку при першому випробуванні, не залежить від другого випробування. Отже, події А і В — незалежні.

Приклад 3. Хай кинуто три урівноважені монети. Визначимо події таким чином:

  • : монети 1 і 2 впали однією і тією ж стороною;
  • : монети 2 і 3 впали однією і тією ж стороною;
  • : монети 1 і 3 впали однією і тією ж стороною;

залежні, бо знаючи, наприклад, що події сталися, ми знаємо точно, що також сталося.

Те що три і більше події попарно незалежні, не означає, що вони незалежні в сукупності. Дивіться приклад Бернштейна.

Незалежні σ-алгебри[ред.ред. код]

Означення 4. Нехай дві сигма-алгебри на одному і тому ж ймовірнісному просторі. Вони називаються незалежними, якщо будь-які їх представники незалежні між собою, тобто:

.

Якщо замість двох є ціле сімейство (можливо нескінчене) сигма-алгебр, то для нього визначається попарна і спільна незалежність очевидним чином.

Див. також[ред.ред. код]

Примітки[ред.ред. код]

  1. Сеньо П. С. Теорія ймовірностей та математична статистика: Підручник. — 2-ге вид., перероб. і доп. — К.: Знання, 2007. — С. 291.
  2. Patrick Billingsley — Probability and Measure. Second edition. (New York: John Wiley and Sons, 1986). MR 80h:60001.