Нерівність Адамара (також теорема Адамара про визначники), визначає верхню межу об'єму паралелепіпеда в
-вимірному евклідовому просторі, заданого
векторами.
Названа на честь Жака Адамара.
Нехай
, а
- матриця із комплексними стовпцями якої є вектори
. Тоді
![{\displaystyle |\det(M)|\leqslant \prod _{i=1}^{n}{||v_{i}||}_{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1de6e5911709e3ad485a4f028f2cc86be8e499eb)
де
— евклідова норма вектора, тобто для вектора
норма рівна
У випадку матриці з дійсними елементами, з точки зору геометрії нерівність стверджує, що об'єм
-вимірного паралелепіпеда є максимальним, коли його задають взаємно перпендикулярні вектори.
Для довільної квадратної матриці
з комплексними елементами матриця
є додатноозначеною. Окрім того
і
Тому достатньо довести твердження:
Якщо матриця
розмірності
є додатноозначеною, то
![{\displaystyle |A|\leqslant a_{11}a_{22}\ldots a_{nn}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34f72749d0b79c1250fca2e37c91ae0b1f0b63e0)
Визначник
можна представити у вигляді
![{\displaystyle |A|=a_{11}{\begin{vmatrix}a_{22}&\ldots &a_{2n}\\a_{32}&\ldots &a_{3n}\\\ldots &\ldots &\ldots \\a_{n2}&\ldots &a_{nn}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}0&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\a_{n1}&a_{n2}&\ldots &a_{nn}\end{vmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/947ccdff089c6db6226a1d50cba169599c9ca5cf)
Так як
додатноозначена, то і матриця, яка є першим доданком в сумі, теж додатноозначена. Позначимо
матрицю, що одержується з
вилученням першого рядка і стовпця. Оскільки вона є додатноозначеною то додатноозначеною є і її союзна матриця (оскільки її власними значеннями будуть
, де
— власні значення матриці
). Проіндексуємо рядки і стовпці A' від 2 до
(тобто кожен елемент буде мати той же індекс, що і в
). Якщо позначити
— мінор матриці
при вилученні
-го рядка і
-го стовпця, то елемент
союзної матриці буде рівним
. Натомість у другому визначнику вище множник біля
буде рівний
тобто
.
Отже, квадратична форма по змінним
, якою є другий доданок, є відємноозначеною. Тому
і рівність є можливою тоді і лише тоді коли всі
є рівними нулю.
Звідси, застосовуючи індукцію, отримуємо необхідний результат.
В комбінаториці матриці з елементами з
, для яких у нерівності Адамара виконується рівність, називаються матрицями Адамара. Таким чином, визначник таких матриць по модулю дорівнює
. З таких матриць отримують коди Адамара.
- R. Bellman, Introduction to Matrix Analysis, SIAM, Philadelphia, PA, USA, Ch. 8, § 7, 1997.
- F. J. MacWilliams and N. J. A. Sloane, The Theory of Error-Correcting Codes, Amsterdam, Netherlands, North-Holland, § 2.3, 1977.
- E. F. Beckenbach and R. Bellman, Inequalities, Berlin-Gottingen-Heidelberg, Germany, Ch. 2, § 11, 1961.