Обернений елемент

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Обернений елемент — одне з понятть абстрактної алгебри.

Визначення[ред.ред. код]

 x \cdot y = e,
де y \in M, а e \in Mнейтральний елемент відносно операції \cdot, тоді y називається правим оберненим щодо x.
  • Аналогічним чином, якщо виконується:
y \cdot x = e,
тоді y називається лівим оберненим до x.
  • Елемент y\in M, що є правим і лівим оберненим до x, себто такий, що:
 x \cdot y = y \cdot x = e,
називається просто оберененим щодо x і позначається x^{-1}.
  • Елемент, для якого існує обернений елемент, називається оборотним.

Зауваження[ред.ред. код]

  • Наведене вище визначення дане в мультипликативній нотації. Якщо використовується аддитивна нотація (M,+), тоді оборотний елемент називається протилежним і позначається -x.
  • Взагалі кажучи, один і той самий елемент x\in M може мати декілька правих обернених і декілька лівих обернених елементів і вони не зобов'язані перетинатися.

Властивості[ред.ред. код]

  • Нехай операція \cdot асоціативна. Тоді якщо для елемента x\in M визначені ліві і праві обернені, то вони рівні і єдині.

Приклади[ред.ред. код]

Множина Бінарна операція Оборотний елемент
Дійсні числа + (сума) \ -x
Дійсні числа, що не дорівнюють нулю \cdot (множення) \ 1/x
Функції виду \ f:M\to M \circ (композиція функцій) \ f^{-1} (обернена функція)

Див. також[ред.ред. код]