Симпліційна категорія

Симпліційна категорія (також симплекс-категорія, ординальне категорія) — категорія непустих скінченних ординалів, морфізмами в якій є монотонні функції. Відіграє важливу роль в алгебричній топології , є основною для таких конструкцій, як симпліційні об'єкти і симпліційні множини.

Позначається $\Delta$, іноді — $\mathbf {Ord}$.

Означення

Об'єктами симпліційної категорії $\Delta$ мають вид $[n]=\{0,1,\dots ,n\}$, де $n$ — натуральне число, а морфізмами відображення $f:[n]\to [n']$ такі, що з $i\leqslant j$ випливає $f(i)\leqslant f(j)$. Іншими словами, об'єктами симпліційної категорії є скінченні порядкові числа, а морфізмами — нестрого монотонні функції між ними. Порядкове число $[0]$ є початковим об'єктом категорії, а $[1]$ — термінальним.

Властивості

Будь-який морфізм симпліційної категорії може бути породжений композицією морфізмів ($0\leqslant i\leqslant n$):

$\delta _{i}^{n}:[n-1]\to [n]$,

$\sigma _{i}^{n}:[n+1]\to [n]$,

заданих як:

$\delta _{i}^{n}(j)={\begin{cases}j,&j<i\\j+1,&j\geqslant i\end{cases}}$ (зростаюче ін'єктивне відображення, що «пропускає» $i$),

$\sigma _{i}^{n}(j)={\begin{cases}j,&j\leqslant i\\j-1,&j>i\end{cases}}$ (неспадне сюр'ективне відображення, що приймає значення $i$ двічі).

Більш того, для будь-якого $f\in \mathrm {Hom} _{\Delta }([m],[n])$ існує єдине подання:

$f=\delta _{i_{s}}^{n}\delta _{i_{s-1}}^{n-1}\dots \delta _{i_{1}}^{n-s+1}\sigma _{j_{t}}^{m-t}\dots \sigma _{j_{2}}^{m-2}\sigma _{j_{1}}^{m-1}$,

де $0\leqslant i_{1}<\dots <i_{s}\leqslant n$, $0\leqslant j_{t}<\dots <j_{1}<m$, $n=m-t+s$.

Ці морфізми задовольняють співвідношення:

$\delta _{j}^{n+1}\delta _{i}^{n}=\delta _{i}^{n+1}\delta _{j-1}^{n}$, якщо $i<j$,

$\sigma _{j}^{n}\sigma _{i}^{n+1}=\sigma _{i}^{n}\sigma _{j+1}^{i+1}$, якщо $i\leqslant j$,

$\sigma _{j}^{n-1}\delta _{i}^{n}={\begin{cases}\delta _{i}^{n-1}\sigma _{j-1}^{n-2},&i<j\\{\mathsf {Id}}_{[n-1]},&i=j\,\vee \,i=j+1\\\Delta _{i-1}^{n-1}\sigma _{j}^{n-2},&i>j+1\end{cases}}$

Дані співвідношення однозначно визначають морфізми $\delta$ і $\sigma$.

Пов'язані означення

Порядкове додавання  — біфунктор $+:\Delta \times \Delta \to \Delta$, заданий на порядкових числах як звичайне додавання:

$[n]+[n']=[n+n']$,

а для морфізму $f:[n]\to [n']$ і $g:[m]\to [m']$ за наступною схемою:

$(f+g)(i)={\begin{cases}f(i),&0\leqslant i\leqslant n-1\\n'+g(i-n),&n\leqslant i\leqslant n+m-1\end{cases}}$.

Симпліційна категорія з порядковим додаванням утворює строго моноїдальну категорію.

У застосування також використовується поповнена симпліційна категорія (англ. augmented simplicial category) $\Delta _{+}$ — симпліційна категорія, доповнена ордіналом $[-1]=\varnothing$: $\Delta _{+}=\Delta \cup [-1]$. Іноді доповнену симпліційну категорію називають алгебричною симпліційною категорією, в цьому випадку $\Delta$ називають топологічною.

Геометричне представлення

Для об'єктів категорії $\Delta$існує геометричне представлення за допомогою коваріантного функтора $\{0,1,\dots ,n\}\to \Delta ^{n}$ образами якого є стандартні симплекси рівні за означенням $\Delta ^{n}=\{(t_{0},\dots t_{n})\mid {(\sum _{i}t_{i}=1)}\wedge {(\forall i\;t_{i}\geqslant 0)}\}$і морфізм $f_{*}:\Delta ^{n}\to \Delta ^{m}$, породжений морфізмом $f:[n]\to [m]$задається як $f_{*}(t_{0},\dots t_{n})=(s_{0},\dots s_{m}),\quad s_{j}=\sum _{f(i)=j}t_{i}.$

Інакше кажучи, образом i-ї вершини $\Delta ^{n}$ є $f(i)$-вершина симплекса $\Delta ^{m}$, а для всіх інших точок відображення продовжується лінійно по барицентричних координатах.

Тоді відображення $d_{*}^{i}$ переводить $\Delta ^{n}$ у i-ту грань симплекса $\Delta ^{n+1}$, а $s_{*}^{j}$переводить $\Delta ^{n}$ у $\Delta ^{n-1}$стискуючи j-ту і j+1 точки в одну точку.

Симпліційні і косимпліційні об'єкти

Симплектичним об'єктом категорії ${\mathcal {C}}$ називається довільний контраваріантний функтор $X:\Delta \to {\mathcal {C}}$. Аналогічно коваріантний функтор $X:\Delta \to {\mathcal {C}}$ називається косимпліційним об'єктом.

Симпліційний об'єкт можна повністю задати визначивши для кожного $n\geqslant 0$ об'єкт $X_{n}$ (що називається n-м шаром, або n-ю компонентою симплектичного об'єкта $X$) і морфізми

$d_{i}=X(\delta _{i}):X_{n}\to X_{n-1}$ (оператор граней)

$s_{i}=X(\sigma _{i}):X_{n}\to X_{n-1}$ ((оператор виродження)).

Тоді симпліційний об'єкт можна ототожнити із системою $\{X_{n},d_{i},s_{i}\}$, де $X_{n}$ — об'єкти категорії ${\mathcal {C}}$ і морфізми $d_{i}:X_{i}\to i-1,\quad 0\leqslant i\leqslant n$ і $s_{i}:X_{i}\to i+1,\quad 0\leqslant i\leqslant n$ задовольняють співвідношення:

$d_{i}d_{j}=d_{j-1}d_{i}$, якщо $i<j$,

$s_{i}s_{j}=s_{j+1}s_{i}$, якщо $i\leqslant j$,

$d_{i}s_{j}={\begin{cases}s_{j-1}d_{i},&i<j\\{\mathsf {Id}},&i=j\,\vee \,i=j+1\\s_{j}d_{i-1},&i>j+1\end{cases}}$.

За допомогою двоїстості у такий же спосіб можна задати і косимпліційні об'єкти.

Симпліційні відображення

Симпліційним відображенням $f:X\to Y$ (між двома симпліційними об'єктами однієї категорії) називається довільний морфізм функтора $X:\Delta \to {\mathcal {C}}$ в функтор $Y:\Delta \to {\mathcal {C}}$, тобто така система морфізмів $f_{n}:X_{n}\to Y_{n},\quad n\geqslant 0$, для якої виконуються співвідношення

$d_{i}f_{n+1}=f_{n}d_{i}$, для $0\leqslant i\leqslant n+1$,

$s_{i}f_{n}=f_{n+1}s_{i}$, для $0\leqslant i\leqslant n$.

Симпліційною гомотопією $h:f\simeq g$ що зв'язує симпліційні $f,g:X\to Y$ відображення симпліційних об'єктів категорії ${\mathcal {C}}$, називається сім'я морфізмів $h_{i}:X_{n}\to Y_{n+1},\quad 0\leqslant i\leqslant n$ категорії, що задовольняють співвідношення:

$d_{0}f_{0}=f_{n}$,

$d_{n}f_{n}=g_{n}$,

$d_{i}h_{j}={\begin{cases}h_{j-1}d_{i},&i<j\\d_{j}h_{j-1},&i=j>0\\h_{j}d_{i-1},&i>j+1\end{cases}}$,

$s_{i}h_{j}={\begin{cases}h_{j+1}s_{i},&i\leqslant j\\h_{j}s_{i-1},&i>j\end{cases}}$.

${\displaystyle }$Симпліційні об'єкти категорії ${\mathcal {C}}$ і їх симпліційні відображення утворюють категорію $\Delta ^{\circ }{\mathcal {C}}$. З введеними вище означеннями у цій категорії можна відтворити майже всю стандартну теорію гомотопій, що пояснює значення симпліційної категорії і симпліційних об'єктів в алгебричній топології.

Див. також

• Абстрактний симпліційний комплекс
• Симпліційна множина
• Транзитивне відношення
• Ергодичність
• Триангульована категорія

Література

• Габриель П., Цисман М. Категории частных и теория гомотопий. — Москва : Мир, 1971. — С. 69—72.
• Goerss, Paul; Jardine, John (1999). Simplicial homotopy theory. Birkhäuser. ISBN 3-7643-6064-X.
• May, Peter (1967). Simplicial objects in algebraic topology. The university of Chicago press. ISBN 0-226-51180-4.