Принцип еквівалентності

При́нцип еквівале́нтності (англ. equivalence principle) — основне твердження загальної теорії відносності, за яким спостерігач не може жодним способом відрізнити дію гравітаційного поля від сили інерції, що виникає в системі відліку, яка рухається з прискоренням.

Принцип еквівалентності справедливий завдяки рівності гравітаційної та інерційної маси.

Розрізняють слабкий принцип еквівалентності (англ. weak equivalence principle) та си́льний при́нцип еквівале́нтності (англ. strong equivalence principle). Різниця між ними в тому, що слабкий принцип — це локальне твердження, а сильний принцип — це твердження, що стосується будь-якої точки простору-часу, тобто будь-якого місця у Всесвіті й будь-якого часу в минулому чи майбутньому.

Математичне формулювання

Подивимось, як цей принцип відбивається у формулах. Для цього розглянемо світову лінію матеріальної точки з масою $m$. Натуральний параметр цієї лінії позначимо $s$, він пропорційний власному часу матеріальної точки $\tau$:

$(1)\qquad s=c\tau$

де $c$ — швидкість світла. Різниця $ds$ натурального параметра в двох близьких точках чотиривимірного простору-часу називається просторово-часовим інтервалом. Він пов'язаний з приростами координат такою формулою:

$(2)\qquad (ds)^{2}=c^{2}(d\tau )^{2}=g_{ij}dx^{i}dx^{j}$

Одиничний дотичний до світової лінії вектор $\nu ^{i}$ є справжнім чотиривектором; він виражається через чотиривектор швидкості $v^{i}={dx^{i} \over d\tau }$:

$(3)\qquad \nu ^{i}={dx^{i} \over ds}={v^{i} \over c}$

Геодезична кривина світової лінії також є справжнім чотиривектором, і дорівнює:

$(4)\qquad k^{i}={D\nu ^{i} \over Ds}={d^{2}x^{i} \over ds^{2}}+\Gamma _{jk}^{i}{dx^{j} \over ds}{dx^{k} \over ds}$

У спеціальній теорії відносності прискорення матеріальної точки пов'язане із силою такою формулою:

$(5)\qquad m{d^{2}x^{i} \over d\tau ^{2}}=F^{i}$

Оскільки в спеціальній теорії відносності символи Крістофеля дорівнюють нулю, то можна замість другої похідної за часом підставити вектор кривини $k^{i}$ з відповідним коефіцієнтом, і узагальнити (5) до такої тензорної формули:

$(6)\qquad mc^{2}\left({d^{2}x^{i} \over ds^{2}}+\Gamma _{jk}^{i}{dx^{j} \over ds}{dx^{k} \over ds}\right)=F^{i}$

Всі справжні сили, окрім сили тяжіння і сил інерції, (наприклад електромагнітні сили) зібрані у векторі $F^{i}$. Мимохідь можна побачити такий цікавий геометричний факт: геодезична кривина світової лінії (розмірність обернена до відстані) дорівнює силі, поділеній на енергію спокою:

$(7)\qquad k^{i}={F^{i} \over mc^{2}}$

Сила тяжіння і сили інерції описуються одним доданком у формулі (6), пов'язаним із символами Крістофеля. Перепишемо (6), перенісши цей доданок у праву частину рівняння, і позначимо цю несправжню силу ${\tilde {F}}^{i}$ (еф з тильдою):

$(8)\qquad m{d^{2}x^{i} \over d\tau ^{2}}=-m_{0}\Gamma _{jk}^{i}{dx^{j} \over d\tau }{dx^{k} \over d\tau }+F^{i}={\tilde {F}}^{i}+F^{i}$

Звернемо увагу, що масу $m$ у лівій частині формули (6) винесено за дужки, а тому при розкритті дужок буде однаковою інерційна маса, яка стоїть множником біля прискорення в даній системі координат:

$(9)\qquad m{d^{2}x^{i} \over d\tau ^{2}}$

і гравітаційна маса, яка стоїть множником у формулі для гравітаційної сили:

$(10)\qquad {\tilde {F}}^{i}=-m\Gamma _{jk}^{i}{dx^{j} \over d\tau }{dx^{k} \over d\tau }$

Ясно, що відокремити силу тяжіння від сил інерції важко, особливо в нестаціонарному гравітаційному полі.

Проте ми можемо окремо говорити про сили інерції у випадку плоского простору Мінковського, коли тензор Рімана тотожно дорівнює нулю. Також ми можемо говорити тільки про силу гравітації і відсутність сил інерції, якщо метричний тензор не залежить від часу і на нескінченності переходить у сталий тензор Мінковського:

$(11)\qquad (g_{ij})={\begin{vmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{vmatrix}}$

Основи доведення необхідності принципу еквівалентності у рамках КТП

Нехай розглядається деякий процес, у якому бере участь деяка кількість «зовнішніх» (різних) частинок, що можуть взаємодіяти із безмасовими частинками спіну 2 (як відомо, безмасове поле спіральності 2 описує гравітаційне поле). Нехай ці частинки випромінюють «м'які» гравітони (з імпульсом $\ q\to 0$). На мові діаграм частинкам відповідають зовнішні лінії. Якщо врахувати можливість випромінювання фотону із кожної зовнішньої лінії, то сумарна амплітуда такого процесу набуде вигляду

$\ M_{\alpha \beta }=M_{\alpha \beta }^{0}\sum _{n}{\frac {f_{n}\eta _{n}p_{n}^{\mu }p_{n}^{\nu }\varepsilon _{\mu \nu }(q)}{(q\cdot p_{n})}}$.

Тут $\ p_{n}$ — 4-імпульс зовнішньої частинки, $\ \eta _{n}=\pm 1$ дорівнює одиниці для кінцевої частинки і мінус одиниці для початкової, $\ f_{n}$ — константа взаємодії даної $\ n$-ої частинки та гравітонів, $\ \varepsilon _{\mu \nu }(q)$ — поляризаційний тензор гравітона, $\ M_{\alpha \beta }^{0}$ — амплітуда процесу без урахування випромінювання «м'яких» гравітонів.

Умова лоренц-інваріантності процесу вимагає, щоб

$\ M_{\alpha \beta }^{0}\sum _{n}{\frac {f_{n}\eta _{n}p_{n}^{\mu }(p_{n}\cdot q)}{(q\cdot p_{n})}}=\sum _{n}f_{n}\eta _{n}=0$.

Як відомо, у будь-яких процесах зберігається 4-імпульс. Це вимагає, щоб усі константи взаємодії були однаковими: $\ f_{n}=f$. Це означає, що гравітаційне поле як поле спіральності 2 взаємодіє із будь-якими частинками однаково. Фактично, це є принципом еквівалентності. Більше того: зовнішніми частинками можуть бути самі гравітони, а це означає, що енергія-імпульс гравітаційного поля нічим не відрізняється від енергії-імпульсу матерії (це називається сильним принципом еквівалентності).