SIC-POVM: відмінності між версіями
[перевірена версія] | [неперевірена версія] |
м автоматична заміна {{Не перекладено}} вікі-посиланнями на перекладені статті |
Tolsai (обговорення | внесок) Функція пропозицій посилань: додано 3 посилання. |
||
Рядок 8: | Рядок 8: | ||
: <math>\sum_{i=1}^M F_i = I.</math> |
: <math>\sum_{i=1}^M F_i = I.</math> |
||
Набір операторів SIC-POVM, який є частковим випадком POVM, складається з нормованих [[Проєкційна матриця|проєкторів]], що мають один відносно одного властивості симетрії та інформаційної повноти. Умова інформаційної повноти означає, що набір ймовірностей спостереження різних результатів вимірювання будь-якого квантового стану за схемою SIC-POVM повністю визначає цей стан. Для виконання цієї умови набір SIC-POVM повинен складатися з <math>d^2</math> лінійно незалежних операторів. У свою чергу, умова симетрії означає, що [[слід матриці#внутрішній добуток|внутрішній добуток]] усіх пар нормованих проєкторів <math>F_i,F_j</math> є постійним: |
Набір операторів SIC-POVM, який є частковим випадком POVM, складається з нормованих [[Проєкційна матриця|проєкторів]], що мають один відносно одного властивості симетрії та інформаційної повноти. Умова інформаційної повноти означає, що набір ймовірностей спостереження різних результатів вимірювання будь-якого [[Квантовий стан|квантового стану]] за схемою SIC-POVM повністю визначає цей стан. Для виконання цієї умови набір SIC-POVM повинен складатися з <math>d^2</math> [[Лінійно незалежні вектори|лінійно незалежних]] операторів. У свою чергу, умова симетрії означає, що [[слід матриці#внутрішній добуток|внутрішній добуток]] усіх пар нормованих проєкторів <math>F_i,F_j</math> є постійним: |
||
: <math> \mathrm{Sp}\left( F_i F_j \right) = \frac{\mathrm{Sp}\left( \Pi_i \Pi_j \right)}{d^2} = \frac{\left| \langle \psi_i | \psi_j \rangle \right|^2}{d^2} = \frac{1}{d^2(d+1)}, \quad i \ne j.</math> |
: <math> \mathrm{Sp}\left( F_i F_j \right) = \frac{\mathrm{Sp}\left( \Pi_i \Pi_j \right)}{d^2} = \frac{\left| \langle \psi_i | \psi_j \rangle \right|^2}{d^2} = \frac{1}{d^2(d+1)}, \quad i \ne j.</math> |
||
Рядок 20: | Рядок 20: | ||
== Властивості == |
== Властивості == |
||
=== Симетрія === |
=== Симетрія === |
||
Як означено [[SIC-POVM#Означення|вище]], попарно різні внутрішні добутки чистих станів мають дорівнювати константі. Оскільки <math> \frac{1}{d} \sum_\alpha \Pi_\alpha = I</math>, то цю константу <math> \mathrm{Sp}(\Pi_\alpha \Pi_\beta ) = \mu^2 \;</math> можна визначити наступним чином: |
Як означено [[SIC-POVM#Означення|вище]], попарно різні внутрішні добутки чистих станів мають дорівнювати [[Константа|константі]]. Оскільки <math> \frac{1}{d} \sum_\alpha \Pi_\alpha = I</math>, то цю константу <math> \mathrm{Sp}(\Pi_\alpha \Pi_\beta ) = \mu^2 \;</math> можна визначити наступним чином: |
||
:<math> d = \mathrm{Sp}(I^2) = \displaystyle \frac{1}{d^2} \sum_{\alpha,\beta} \mathrm{Sp}(\Pi_\alpha \Pi_\beta) = \displaystyle \frac{1}{d^2} \left( d^2 + \mu^2 d^2 (d^2-1) \right), </math> |
:<math> d = \mathrm{Sp}(I^2) = \displaystyle \frac{1}{d^2} \sum_{\alpha,\beta} \mathrm{Sp}(\Pi_\alpha \Pi_\beta) = \displaystyle \frac{1}{d^2} \left( d^2 + \mu^2 d^2 (d^2-1) \right), </math> |
||
звідки: |
звідки: |
Версія за 06:02, 28 квітня 2024
Симетрична, інформаційно повна, невід'ємна операторно-значна міра (СІП-НОЗМ, англ. SIC-POVM) — частковий випадок узагальненого[en] квантовомеханічного вимірювання в гільбертовому просторі. Такий специфічний різновид вимірювання, який має певні корисні властивості, є перспективним кандидатом для «стандартного квантового вимірювання», яке є одним з фундаментальних понять основ квантової механіки. Більш того, оператори SIC-POVM застосовуються у томографії квантового стану[en][1] і квантовій криптографії[2].
Означення
Через той факт, що оператори SIC-POVM використовуються насамперед у квантовій механіці, елементи гільбертового простору представлятимуться за допомогою позначень Дірака.
У загальному випадку, набір операторів POVM[en] у -мірному гільбертовому просторі визначається як такий набір додатно напіввизначених операторів[en] у гільбертовому просторі, що їх сума дорівнює одиничній матриці:
Набір операторів SIC-POVM, який є частковим випадком POVM, складається з нормованих проєкторів, що мають один відносно одного властивості симетрії та інформаційної повноти. Умова інформаційної повноти означає, що набір ймовірностей спостереження різних результатів вимірювання будь-якого квантового стану за схемою SIC-POVM повністю визначає цей стан. Для виконання цієї умови набір SIC-POVM повинен складатися з лінійно незалежних операторів. У свою чергу, умова симетрії означає, що внутрішній добуток усіх пар нормованих проєкторів є постійним:
Таким чином, поєднання умов симетрії та інформаційної повноти задає набір , що складається з операторів виду
де — проєктор із рангом 1.
Властивості
Симетрія
Як означено вище, попарно різні внутрішні добутки чистих станів мають дорівнювати константі. Оскільки , то цю константу можна визначити наступним чином:
звідки:
Зв'язок із рівнонахиленими базисами
У d-вимірному гільбертовому просторі, два різні базиси та називаються рівнонахиленими, якщо:
Це поняття за своєю сутністю схоже до властивості симетрії у SIC-POVM. Так, задача знаходження SIC-POVM еквівалентна до задачі знаходження рівнокутних прямих у Cd, тоді як повний набір рівнонахилених базисів можна представити у вигляді афінного простору. Можна показати, що геометрична структура, яка відповідає задачі знаходження повного набору рівнонахилених базисів, еквівалентна до геометричної структури, що відповідає SIC-POVM[3]. Але треба відзначити, що еквівалентність цих задач справедлива у сенсі абстрактної геометрії, тому внаслідок того, що простори кожної з цих геометричних структур, взагалі кажучи, відрізняються, не можна точно гарантувати, що розв'язок на одному просторі безпосередньо відповідатиме розв'язкові на іншому.
Прикладом, де така еквівалентність дає результат, є випадок 6-вимірного гільбертового простору, в якому SIC-POVM було знайдено аналітично за допомогою математичного програмного забезпечення, але поки не було знайдено повного набору рівнонахилених базисів[4].
Виноски
- ↑ Caves C. M., Fuchs C. A., Schack R. Unknown quantum states: the quantum de Finetti representation // Journal of Mathematical Physics. — 2002. — Vol. 43. — P. 4537–4559. (arXiv: quant-ph/0104088 [Архівовано 26 березня 2015 у Wayback Machine.])
- ↑ Fuchs C. A., Sasaki M. Squeezing Quantum Information through a Classical Channel: Measuring the 'Quantumness' of a Set of Quantum States // Quant. Info. Comp. — 2003. — Vol. 3. — P. 377–404. (arXiv: quant-ph/0302092 [Архівовано 22 липня 2020 у Wayback Machine.])
- ↑ Wooters W. K. Quantum measurements and finite geometry // arXiv: quant-ph/0406032. — 2004.
- ↑ Grassl M. On SIC-POVMs and MUBs in Dimension 6 // arXiv: quant-ph/0406175. — 2009.
Див. також
- POVM[en]
- Вимірювання (квантова механіка)
- Квантовий байєсіанізм
- Рівнонахилені базиси
- Томографія квантового стану[en]
Це незавершена стаття з фізики. Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її. |