Стандартне відображення

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Стандартне відображення (англ. Standard map), відоме також як стандартне відображення Чирікова (англ. Chirikov standard map) та відображення Чирікова-Тейлора (англ. Chirikov-Taylor map) - нелінійне відображення (що зберігає об'єм) для двох канонічних змінних, (p,x) (імпульсу та координати). Відображення відоме своїми хаотичними властивостями, які вперше були досліджені[1] Борисом Чиріковим в 1969 році.

Відображення задається такими ітераційними рівняннями:

\begin{array}{lcr} {p}_{n+1} = p_n+K\sin x_n \\ {x}_{n+1} = x_n+{p}_{n+1} \end{array}

де параметр K контролює хаотичність системи.

Модель ротатора[ред.ред. код]

Стандартне відображення описує рух класичного ротатора - фіксованого стрижня, на який не діє сила тяжіння і який обертається без тертя в площині навколо осі, що проходить через один з його кінців. Ротатор також зазнає спричинених зовнішньою силою періодичних в часі (з періодом одиниця) ударів нескінченно короткої тривалості. Змінні x_n та p_n відповідають куту повороту ротатора та його кутовому моменту після n-ого удару. Стала K описує силу удару. Функція Гамільтона ротатора може бути записана так:


H=\frac{p^2}{2}+K\cos x ~~\delta_{Per}(t),

де функція \delta_{Per}(t) періодична з періодом 1 функція, що на одному періоді збігається з \delta-функцією Дірака. З вищенаведеної функції Гамільтона елементарно одержується стандартне відображення.

Властивості[ред.ред. код]

Рис.1. K=0.5
Рис.2. K=0.971635
Рис. 3. K=1.5

Для випадку K=0 відображення є лінійним, тому існують лише періодичні та квазіперіодичні тректорії. При K\neq 0 відображення стає нелінійним, згідно з теоремою КАМ, відбувається руйнування інваріантних торів та утворення стохастичних шарів, в яких динаміка є хаотичною. Зростання K призводить до збільшення областей хаосу на фазовій площині (x,p). Завдяки періодичності функції sin(x), динаміку системи можна розглядати на циліндрі [взявши x~ mod (2\pi)] або на торі [взявши (x,p)~ mod (2\pi)].

Стаціонарні точки відображення визначаються з умови
(x_n,p_n)=(x_{n+1},p_{n+1}). На інтервалі x \in [0,2\pi[, p \in [0,2\pi[ такими точками є (0,0) та (\pi,0) (внаслідок симетрчності фазової площини системи (x_n,p_n) при інверсії стосовно точки (\pi,\pi) стаціонарні точки (0,\pi) та (\pi,\pi) можна не розглядати). Аналіз лінійної стійкості відображення зводиться до аналізу системи рівнянь


\left [\begin{array}{c} \delta x_{n+1}\\ \delta p_{n+1}\end{array}  \right ]={\hat M}
\left [ \begin{array}{c} \delta x_{n}\\ \delta p_{n}\end{array}
\right ]~,
~~~~ {\hat M}=\left [ \begin{array}{cc}
1 & 1+ K \cos x_n \\
1 & K \cos x_n
\end{array}
\right ].
З умови \det |{\hat M}-\lambda {\hat I}|=0 можна визначити власні значення матриці {\hat M} для обидвох стаціонарних точок [(0,0) та (\pi,0)]:

\lambda_{\pm}^{(0,0)}= \frac{2+K {\pm}\sqrt{K^2+4K}}{2}~,

\lambda_{\pm}^{(\pi,0)}= \frac{2-K {\pm}\sqrt{K^2-4K}}{2}~.

Оскільки K>0, то звідси випливає нерівність \lambda_{+}^{(0,0)}>1. В той же час справедлива нерівність \lambda_{-}^{(0,0)}<\lambda_{+}^{(0,0)}<1 для довільних K>0. Таким чином стаціонарна точка (0,0) є нестійкою гіперболічною точкою. Стаціонарна точка (\pi,0) є стійкою еліптичною точкою при 0 \ge K < 4, оскільки тоді \Re \left |\lambda_{\pm}^{(\pi,0)} \right |=1. Для K\ge 4 стаціонарна точка (\pi,0) втрачає стійкість і стає гіперболічною.

Нижче критичного значення параметру, K<K_c (Рис. 1) інваріантні тори ділять фазовий простір системи так, що момент імпульсу p є обмеженим - іншими словами, дифузія p в стохастичному шарі не може виходити за границі, обмежені інваріантними торами. Золотий інваріантний тор руйнується коли число обертання досягає значення r_g=(\sqrt{5}-1)/2, що відповідає критичному значенню параметра K_g=0.971635... (фазовий простір системи для K=0.971635 зображено на Рис. 2). Зараз строго не доведено, що K_c=K_g, проте чисельні розрахунки свідчать, що це найімовірніше так. На сьогоні існує лише строге доведення того, що при K>63/64=0.984375.... При K>K_c спостерігається режим глобального хаосу, коли стохастичне море з окремими острівцями стійкості покриває весь фазовий простір (див. рис. 3.). Інваріантних торів, що обмежують еволюцію в фазовому просторі, вже немає і можна говорити про дифузію траєкторії в хаотичному морі.

Ентропія Колмогорова-Синая стандартного відображення добре описується співвідношенням h\approx \ln(K/2) для значень контрольного параметра K>4[2]

Квантове стандартне відображення[ред.ред. код]

Перехід до квантового стандартного відображення відбувається заміною динамічних змінних (p,x) квантовомеханічними операторами ({\hat p},{\hat x}), що задовільняють комутаційному співвідношенню [{\hat p},{\hat x}]=-i\hbar, де \hbar - ефективна безрозмірна стала Планка.

Основною властивістю квантового відображення у порівнянні з класичним є т. зв. явище динамічної локалізації, що полягає в придушенні хаотичної дифузії за рахунок квантових ефектів[3].

Застосування[ред.ред. код]

Багато фізичних систем та явищ зводяться до стандартного відображення. Це, зокрема

  • Динамкіка частинок в прискорювачах;
  • Динаміка комети в Сонячній системі;
  • Мікрохвильова іонізація рідбергівських атомів та автоіонізація молекулярних рідбергівських станів;
  • Електронний магнетотранспорт в резонансному тунельному діоді;
  • Конфайнмент заряджених частинок в дзеркальних магнітних пастках;


Модель Френкеля-Конторової[ред.ред. код]

Модель Френкеля-Конторової слід виділити окремо як першу модель, в якій рівняння стандартного відображення були записані аналітично. Ця модель використовується для опису динаміки дислокацій, моношарів на поверхнях кристалів, хвиль густини заряду, сухого тертя. Модель у стаціонарному випадку задає зв'язок між положеннями взаємодіючих частинок (наприклад атомів) в полі просторово-періодичного потенціалу. Функція Гамільтона одновимірного ланцюжка атомів, що взаємодіють з найближчими сусідами через параболічний потенціал взаємодії та знаходяться в полі косинусоїдального потенціалу, який описує кристалічну поверхню, має насутпний вигляд:

H= \sum_{n}\left ({P_n^2 \over 2} + {(x_{n+1}-x_{n})^2 \over 2}- K \cos x_n \right )~,~~~ P_n={\dot x}_n~.
Тут x_n - відхилення атома від свого положення рівноваги. У стаціонарному випадку (P_n \equiv 0) це призводить до наступного рівняння


x_{n+1}-2x_n+x_{n-1}=K \sin x_n~,

яке заміною p_{n+1}=x_{n+1}-x_n можна звести до звичайного запису стандартного відображення.

Застосування квантового стандартного відображення[ред.ред. код]

Див. також[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]

  1. B.V.Chirikov, "Research concerning the theory of nonlinear resonance and stochasticity", Preprint N 267, Institute of Nuclear Physics, Novosibirsk (1969), (Engl. Trans., CERN Trans. 71-40 (1971)).
  2. B.V.Chirikov, "A universal instability of many-dimensional oscillator systems", Phys. Rep. 52: 263 (1979).
  3. G.Casati, B.V.Chirikov, F.M.Izrailev, J.Ford, Lecture Notes in Physics, Springer, Berlin, 93: 334 (1979)

Література[ред.ред. код]

  • Ott, Edward (2002). Chaos in Dynamical Systems. Cambridge University Press New, York. ISBN 0-521-01084-5. 
  • Sprott, Julien Clinton (2003). Chaos and Time-Series Analysis. Oxford University Press. ISBN 0-19-850840-9. 
  • B.V.Chirikov, "Time-dependent quantum systems" in "Chaos and quantum mechanics", Les Houches Lecture Series, Vol. 52, pp.443-545, Eds. M.-J.Giannoni, A.Voros, J.Zinn-Justin, Elsevier Sci. Publ., Amsterdam (1991).