Стандартне відображення

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Стандартне відображення (англ. Standard map), відоме також як стандартне відображення Чирікова (англ. Chirikov standard map) та відображення Чирікова-Тейлора (англ. Chirikov-Taylor map) - нелінійне відображення (що зберігає об'єм) для двох канонічних змінних, (імпульсу та координати). Відображення відоме своїми хаотичними властивостями, які вперше були досліджені[1] Борисом Чиріковим в 1969 році.

Відображення задається такими ітераційними рівняннями:

де параметр K контролює хаотичність системи.

Модель ротатора[ред.ред. код]

Стандартне відображення описує рух класичного ротатора - фіксованого стрижня, на який не діє сила тяжіння і який обертається без тертя в площині навколо осі, що проходить через один з його кінців. Ротатор також зазнає спричинених зовнішньою силою періодичних в часі (з періодом одиниця) ударів нескінченно короткої тривалості. Змінні та відповідають куту повороту ротатора та його кутовому моменту після n-ого удару. Стала K описує силу удару. Функція Гамільтона ротатора може бути записана так:

де функція періодична з періодом 1 функція, що на одному періоді збігається з -функцією Дірака. З вищенаведеної функції Гамільтона елементарно одержується стандартне відображення.

Властивості[ред.ред. код]

Рис.1. K=0.5
Рис.2. K=0.971635
Рис. 3. K=1.5

Для випадку K=0 відображення є лінійним, тому існують лише періодичні та квазіперіодичні тректорії. При відображення стає нелінійним, згідно з теоремою КАМ, відбувається руйнування інваріантних торів та утворення стохастичних шарів, в яких динаміка є хаотичною. Зростання K призводить до збільшення областей хаосу на фазовій площині . Завдяки періодичності функції , динаміку системи можна розглядати на циліндрі [взявши ] або на торі [взявши ].

Стаціонарні точки відображення визначаються з умови
. На інтервалі , такими точками є та (внаслідок симетрчності фазової площини системи при інверсії стосовно точки стаціонарні точки та можна не розглядати). Аналіз лінійної стійкості відображення зводиться до аналізу системи рівнянь



З умови можна визначити власні значення матриці для обидвох стаціонарних точок [ та ]:

Оскільки K>0, то звідси випливає нерівність . В той же час справедлива нерівність для довільних K>0. Таким чином стаціонарна точка є нестійкою гіперболічною точкою. Стаціонарна точка є стійкою еліптичною точкою при , оскільки тоді . Для стаціонарна точка втрачає стійкість і стає гіперболічною.

Нижче критичного значення параметру, (Рис. 1) інваріантні тори ділять фазовий простір системи так, що момент імпульсу p є обмеженим - іншими словами, дифузія p в стохастичному шарі не може виходити за границі, обмежені інваріантними торами. Золотий інваріантний тор руйнується коли число обертання досягає значення , що відповідає критичному значенню параметра (фазовий простір системи для зображено на Рис. 2). Зараз строго не доведено, що , проте чисельні розрахунки свідчать, що це найімовірніше так. На сьогоні існує лише строге доведення того, що при . При спостерігається режим глобального хаосу, коли стохастичне море з окремими острівцями стійкості покриває весь фазовий простір (див. рис. 3.). Інваріантних торів, що обмежують еволюцію в фазовому просторі, вже немає і можна говорити про дифузію траєкторії в хаотичному морі.

Ентропія Колмогорова-Синая стандартного відображення добре описується співвідношенням для значень контрольного параметра [2]

Квантове стандартне відображення[ред.ред. код]

Перехід до квантового стандартного відображення відбувається заміною динамічних змінних квантовомеханічними операторами , що задовільняють комутаційному співвідношенню , де - ефективна безрозмірна стала Планка.

Основною властивістю квантового відображення у порівнянні з класичним є т. зв. явище динамічної локалізації, що полягає в придушенні хаотичної дифузії за рахунок квантових ефектів[3].

Застосування[ред.ред. код]

Багато фізичних систем та явищ зводяться до стандартного відображення. Це, зокрема

  • Динамкіка частинок в прискорювачах;
  • Динаміка комети в Сонячній системі;
  • Мікрохвильова іонізація рідбергівських атомів та автоіонізація молекулярних рідбергівських станів;
  • Електронний магнетотранспорт в резонансному тунельному діоді;
  • Конфайнмент заряджених частинок в дзеркальних магнітних пастках;


Модель Френкеля-Конторової[ред.ред. код]

Модель Френкеля-Конторової слід виділити окремо як першу модель, в якій рівняння стандартного відображення були записані аналітично. Ця модель використовується для опису динаміки дислокацій, моношарів на поверхнях кристалів, хвиль густини заряду, сухого тертя. Модель у стаціонарному випадку задає зв'язок між положеннями взаємодіючих частинок (наприклад атомів) в полі просторово-періодичного потенціалу. Функція Гамільтона одновимірного ланцюжка атомів, що взаємодіють з найближчими сусідами через параболічний потенціал взаємодії та знаходяться в полі косинусоїдального потенціалу, який описує кристалічну поверхню, має насутпний вигляд:

Тут - відхилення атома від свого положення рівноваги. У стаціонарному випадку () це призводить до наступного рівняння


яке заміною можна звести до звичайного запису стандартного відображення.

Застосування квантового стандартного відображення[ред.ред. код]

Див. також[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]

  1. B.V.Chirikov, "Research concerning the theory of nonlinear resonance and stochasticity", Preprint N 267, Institute of Nuclear Physics, Novosibirsk (1969), (Engl. Trans., CERN Trans. 71-40 (1971)).
  2. B.V.Chirikov, "A universal instability of many-dimensional oscillator systems", Phys. Rep. 52: 263 (1979).
  3. G.Casati, B.V.Chirikov, F.M.Izrailev, J.Ford, Lecture Notes in Physics, Springer, Berlin, 93: 334 (1979)

Література[ред.ред. код]

  • Ott, Edward (2002). Chaos in Dynamical Systems. Cambridge University Press New, York. ISBN 0-521-01084-5. 
  • Sprott, Julien Clinton (2003). Chaos and Time-Series Analysis. Oxford University Press. ISBN 0-19-850840-9. 
  • B.V.Chirikov, "Time-dependent quantum systems" in "Chaos and quantum mechanics", Les Houches Lecture Series, Vol. 52, pp.443-545, Eds. M.-J.Giannoni, A.Voros, J.Zinn-Justin, Elsevier Sci. Publ., Amsterdam (1991).