Теорема Лефшеца про нерухому точку — результат у алгебричній топології про існування нерухомих точок неперервного відображення в себе для досить широких класів топологічних просторів.
Нехай — зв'язний компактний орієнтовний топологічний многовид або скінченний CW-комплекс (зокрема поліедр — простір гомеоморфний скінченному симпліційному комплексу). У цих випадках сингулярні гомологічні групи (для поліедрів еквівалентно симпліційні гомологічні групи) над полем є скінченновимірними векторними просторами.
Нехай — стандартні позначення для n-их компонент елементів відповідних ланцюгових комплексів, циклів, границь і гомологічних груп (деталі у статті Ланцюговий комплекс).
Якщо — неперервне відображення, то воно задає лінійні відображення
Нехай — слід лінійного перетворення.
За означенням, числом Лефшеца відображення називається число
- Якщо функції f і g є гомотопно еквівалентними, то
- У випадку, наприклад, скінченного симпліційного комплексу число Лефшеца можна ввести в інший спосіб. Тоді відображення задає лінійні відображення на скінченновимірних просторах елементи базиса яких є у бієктивній відповідності із n-симплексами симпліційного комплексу. Відображення одержуються, наприклад композицією відображень на сингулярному комплексі із ланцюговими відображеннями, що задають еквівалентність симпліційних і сингулярних гомологій. Тоді:
-
- Нижче цикли, границі і гомології подані для симпліційного випадку. Для доведення позначимо відображення і . Із елементарних властивостей сліду лінійних відображень над скінченновимірними векторними просторами випливає, що . Але граничний гомоморфізм задає ізоморфізми і , а тому . Остаточний результат одержується підстановкою виразу через і у формулу числа Лефшеца і скороченням і які будуть мати різні знаки.
- Якщо у випадку скінченного симпліційного комплексу взяти (одиничне відображення на просторі ) то є одиничними відображеннями на гомологічних групах і є рівним кількості симплексів розмірності n (оскільки сингулярні і симпліційні гомології у цьому випадку є еквівалентними). Тому , тобто число Лефшеца для одиничного відображення є рівним характеристиці Ейлера даного простору.
Найпростіший варіант теореми Лефшеца стверджує, що якщо то неперервне відображення має хоча б одну нерухому точку, тобто елемент , для якого .
Більш детально припустимо, що всі нерухомі точки відображення ізольовані.
Для кожної нерухомої точки , позначимо через її індекс Кронекера (локальний степінь відображення в околі точки ). Тоді формула Лефшеца для і має вигляд
Нижче подано доведення для поліедрів — просторів гомеоморфних скінченному симпліційному комплексу.
Припустимо, що є підмножиною деякого евклідового простору , і — стандартна метрика у . Оскільки простір є компактним і не має нерухомих точок,
досягає свого мінімального значення , у деякій точці . Нехай — ціле число, для якого , і — симпліційне наближення до відображення (деталі щодо позначень і термінології у статті Симпліційний комплекс).
Якщо є симпліційним наближенням до одиничного відображення, то , тож . Але є оберненим ізоморфізмом до , де є гомоморфізмом барицентричного підрозбиття ланцюгових комплексів; звідси , тож є гомоморфізмом ланцюгових комплексів, що породжує .
Зважаючи на еквівалентне означення числа Лефшеца достатньо довести, що для кожного симплекса , значенням є лінійна комбінація симплексів жоден з яких не є рівним , бо у цьому випадку очевидно . Припустимо, що є симплексом для якого містить . Тоді оскільки є лінійною комбінацією симплексів, що містяться у , отримуємо, що образом хоча б одного з них при відображенні є , а тому існує точка
для якої також і тому . Але з властивостей симпліційного наближення випливає, що і належать деякому спільному симплексу і тому . Звідси , що суперечить означенню числа .
Властивості просторів зі скінченними гомологічними групами
[ред. | ред. код]
Для скінченного лінійно зв'язного симпліційного комплексу K, для якого гомологічні групи є скінченними для всіх , то будь-яке неперервне відображення має нерухомі точки. Дане твердження є правильним, тому що і для кожної скінченної абелевої групи G, виконується (тривіальна група), натомість для кожного лінійно зв'язного простору і для будь-якого неперервного відображення породжений гомоморфізм є одиничним відображенням одновимірного векторного простору; відповідно і тому
Наслідками цього твердження є:
- Якщо K є стягуваним простором, наприклад кулею, то для всіх то будь-яке неперервне відображення має нерухомі точки. Таким чином теорема Брауера про нерухомі точки є частковим випадком теореми Лефшеца.
- Для дійсного проективного простору де є парним числом для всіх гомологічні групи є рівними або і тому будь-яке неперервне відображення має нерухомі точки.
Нехай тепер — неперервне відображення сфери, що не має нерухомих точок. Єдиними ненульовими гомологічним групами у цьому випадку є і є одиничним лінійним відображенням, а задається як для деякого раціонального числа d. Тоді і тому .
- Наслідком цього твердження є те, що для парного числа для довільного неперервного відображення гомотопного одиничному існують нерухомі точки. Звідси зокрема отримується твердження про відсутність неперервних дотичних векторних полів, що не є рівні нулю в усіх точках для сфер .
Нехай тепер G — лінійно зв'язна компактна група Лі і T — максимальний тор у цій групі. Позначимо X = G/T. Тоді X є компактним многовидом і для кожного відображення
є диференційовним. Оскільки група є лінійно зв'язною то всі відображення є гомотопно еквівалентними одиничному відображенню і тому числа Лефшеца всіх цих відображень є рівними характеристиці Ейлера простору X. Можна довести, що тобто порядку факторгрупи нормалізатора максимального тора по самому максимальному тору. Ця факторгрупа завжди є скінченною.
З теореми Лефшеца випливає, що кожне відображення має нерухому точку для якої . Тоді зокрема , тобто кожен елемент групи G є спряженим із деяким елементом максимального тора T. Якщо взяти топологічний генератор якогось іншого тора (топологічним генератором групи називається елемент такий, що множина степенів є щільною у групі; для максимальних торів у компактних групах Лі топологічні генератори завжди існують) то звідси випливає, що два максимальні тори у групі G є спряженими. Це твердження є важливим у теорії представлень компактних груп Лі.
- Maunder, Charles Richard Francis (1980), Algebraic topology, Cambridge University Press, ISBN 9780521231619