Теорема Меньє

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

У диференційній геометрії теоремою Меньє називається твердження про властивості кривини на поверхні, яке було доведено у 1776 році (опубліковано 1785 році[1]) французьким вченим Жаном Батістом Меньє.

Необхідні означення[ред. | ред. код]

Нехай регулярна поверхня у тривимірному евклідовому просторі і регулярна крива, образ якої належить поверхні S і Нехай крива параметризується своєю довжиною. Тоді в усіх точках кривої. Якщо то вектор називається одиничною нормаллю, а кривиною кривої у точці p. Також нехай N позначає одиничний нормальний вектор до площини S у точці p (тобто одиничний вектор, що є ортогональним до дотичної площини поверхні у даній точці із певним вибором напрямку).

Нормальною кривиною кривої у точці у цьому випадку називається довжина ортогональної проекції на пряму задану вектором N. Якщо кривина прямої у точці рівна нулю, то і її нормальна кривина рівна нулю.

Якщо кут між векторами N і n то можна явно записати або через скалярний добуток

Теорема Меньє[ред. | ред. код]

Теорема Меньє стверджує, що нормальна кривина кривої у точці залежить лише від напрямку дотичного вектора у цій точці. Тобто якщо дві регулярні криві (параметризовані своїми довжинами) мають однаковий дотичний вектор у точці p, то і їх нормальні криві у цій точці будуть однаковими.

Доведення[ред. | ред. код]

Нехай N(t) — одиничні нормалі до поверхні S у точках Згідно означення нормальні кривини у точках прямої тоді є рівними За означеннями і продиференціювавши цю рівність отримуємо де диференціал у точці p нормального відображення із поверхні S на одиничну сферу, що кожній точці поверхні співставляє одиничну нормаль у цій точці. При означенні дотичні поверхні до S і у відповідній точці сфери ототожнюються (загалом вони є паралельними). Таким чином нормальна кривина залежить тільки від

Наслідки[ред. | ред. код]

  • З теореми Меньє випливає, що поняття нормальної кривини має значення для одиничних векторів на дотичній площині Кожен такий вектор x, разом із нормаллю N задає деяку площину перетин якої із S утворює регулярну криву для якої (при параметризації довжиною) x є дотичним вектором і кривина якої у точці p є рівною нормальній кривині. Крива називається нормальним перетином поверхні S із дотичним вектором x.
  • З теореми Меньє також випливає те, що для регулярної кривої із дотичним вектором x у точці p кривина залежить тільки від нормалі до прямої оскільки нормаль до поверхні і нормальна кривина у цьому випадку задані однозначно. Зокрема нормальну кривину можна однозначно визначити як звичайну кривину нормального перерізу.
  • Для нормального перетину із дотичним вектором x центром стичного кола є точка і його радіус очевидно є рівним Для довільної іншої кривої у S із дотичним вектором x у точці p стичне коло у цій точці за означенням належить площині заданій векторами x і n, центром стичного кола є точка і радіус кола є рівним 1/k. Згідно теореми Меньє кривина кривої визначається лише кутом між N і n і . Тому радіуси стичних кіл задовольняють співвідношення Як наслідок всі такі стичні кола лежать на сфері із центром у точці і радіусом

Примітки[ред. | ред. код]

  1. Meusnier J. Mémoire sur la courbure des surface // Mémoires de Mathématique et de Physique présentés à l'Académie Royale des Sciences, par Divers Savants, & lûs dans ses Assemblées (Paris), 1785, v. 10, p. 477–510.

Див. також[ред. | ред. код]

Література[ред. | ред. код]