Теорема Рунге

Теорема Рунге (також апроксимаційна теорема Рунге) в комплексному аналізі  — твердження про можливість рівномірного наближення голоморфної функції раціональними функціями або многочленами. Доведена німецьким математиком Карлом Рунге у 1885 році.

Формулювання

Позначимо ${\hat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}.$ Нехай $K\subset \mathbb {C}$  — компактна підмножина і $f(z)$ голоморфна функція в визначена на відкритій множині, що містить $K.$ Якщо $A$  — множина, що містить по одній точці з кожної компоненти зв'язності множини ${\hat {\mathbb {C} }}\setminus K,$ для кожного $\varepsilon >0$ існує раціональна функція, що має полюсами в множині $A$ і для якої $\sup _{z\in K}|f(z)-r(z)|<\varepsilon$.

Звідси зокрема випливає, що при тих же умовах і позначеннях, що і вище для функції $f(z)$ існує послідовність функцій $f_{i}(z),$ що рівномірно на $K$ збігаються до $f(z).$

Якщо $U\subset \mathbb {C}$ — відкрита множина то також довільна голоморфна на $U$ функція $f(z)$ може бути рівномірно на компактних підмножинах наближеною раціональними функціями.

Наслідки

• Якщо $K\subset \mathbb {C}$ і множина ${\hat {\mathbb {C} }}\setminus K,$ є зв'язною то взявши $A=\infty$ з теореми Рунге можна отримати наступний результат, який теж часто називається теоремою Рунге:

Якщо при вказаних умовах функція $f(z)$ є голоморфною на відкритій множині, що містить $K$ тоді для кожного $\varepsilon >0$ існує многочлен $p(z)$, для якого $\sup _{z\in K}|f(z)-p(z)|<\varepsilon$.

• Дане твердження може бути перефразованим для відкритих зв'язних множин $U\subset \mathbb {C}$ таких, що ${\hat {\mathbb {C} }}\setminus U$ є зв'язною множиною. В цьому випадку $f(z)$ рівномірно наближається поліномами на всіх компактних підмножинах в $U.$ Множина $U$ є зв'язною разом із своїм доповненням ${\hat {\mathbb {C} }}\setminus U$ тоді і тільки тоді, коли множина $U$ є однозв'язною. Натомість якщо взяти $U=\mathbb {C} \setminus \{0\}$ то функцію $f(z)={\frac {1}{z}}$ не можна апроксимувати на компактах многочленами.

Тому можна перефразувати попередні результати як: для зв'язної множин $U\subset \mathbb {C}$ довільну голоморфну на $U$ функцію $f(z)$ можна наблизити многочленами рівномірно на компактах тоді і тільки тоді коли множина $U$ є однозв'язною.

Посилання

• Hazewinkel, Michiel, ред. (2001), Runge theorem, Математична енциклопедія, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4

Джерела

• Greene, Robert E.; Krantz, Steven G. (2002), Function Theory of One Complex Variable (вид. 2nd), American Mathematical Society, ISBN 0-8218-2905-X