Теорема Рунге

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Теорема Рунге (також апроксимаційна теорема Рунге) в комплексному аналізі  — твердження про можливість рівномірного наближення голоморфної функції раціональними функціями або многочленами. Доведена німецьким математиком Карлом Рунге у 1885 році.

Формулювання[ред. | ред. код]

Позначимо Нехай  — компактна підмножина і голоморфна функція в визначена на відкритій множині, що містить Якщо  — множина, що містить по одній точці з кожної компоненти зв'язності множини для кожного існує раціональна функція, що має полюсами в множині і для якої .

Звідси зокрема випливає, що при тих же умовах і позначеннях, що і вище для функції існує послідовність функцій що рівномірно на збігаються до

Якщо  — відкрита множина то також довільна голоморфна на функція може бути рівномірно на компактних підмножинах наближеною раціональними функціями.

Наслідки[ред. | ред. код]

  • Якщо і множина є зв'язною то взявши з теореми Рунге можна отримати наступний результат, який теж часто називається теоремою Рунге:
Якщо при вказаних умовах функція є голоморфною на відкритій множині, що містить тоді для кожного існує многочлен , для якого .
  • Дане твердження може бути перефразованим для відкритих зв'язних множин таких, що є зв'язною множиною. В цьому випадку рівномірно наближається поліномами на всіх компактних підмножинах в Множина є зв'язною разом із своїм доповненням тоді і тільки тоді, коли множина є однозв'язною. Натомість якщо взяти то функцію не можна апроксимувати на компактах многочленами.
Тому можна перефразувати попередні результати як: для зв'язної множин довільну голоморфну на функцію можна наблизити многочленами рівномірно на компактах тоді і тільки тоді коли множина є однозв'язною.

Посилання[ред. | ред. код]

Джерела[ред. | ред. код]

  • Greene, Robert E.; Krantz, Steven G. (2002). Function Theory of One Complex Variable (вид. 2nd). American Mathematical Society. ISBN 0-8218-2905-X.