Теорема Ріба про стійкість

Теорема Ріба про стійкість стверджує, що якщо шарування корозмірності один має замкнутий шар із скінченною фундаментальною групою, то всі його шари замкнуті і мають скінченну фундаментальну групу. Доведена французьким математиком Жоржем Рібом.

Теорема Ріба про стійкість

Теорема: Нехай $F$ гладке (класа $C^{1}$) шарування корозмірності $k$ на многовиді $M$ і $L$ компактний шар із скінченною групою голономії. Тоді всякий трубчастий окіл шару $L$ містить менший окіл $U$, що складається з цілих шарів шарування $F$ (т.з. насичений окіл), всі шари якого є компактними і мають кінцеву групу голономіі. Більш того, визначена ретракція $\pi :U\to L$ такая, что для каждого слоя $L'\subset U$, отображение $\pi |_{L'}:L'\to L$ є скінченнолистним накриттям и для каждой точки $y\in L$, прообраз $\pi ^{-1}(y)$ гомеоморфен диску $D^{k}$ і трансверсален шарам $F$.

Зокрема, якщо шар $L$ однозв'язний, то він має насичений окіл, шарування у якому дифеоморфно шаруванню $\{L\times t\}$ добутку $L\times D^{k}$.

Теорема також може бути сформульована для некомпактного шару.

Теорема Ріба про глобальної стабільності

У теорії шарувань вельми цікавим є питання про те, як наявність у шарування компактного шару впливає на глобальну структуру шарування. Для деяких класів шарувань ця задача має розв'язок.

Теорема: Нехай $F$ гладке (класа $C^{1}$) шарування корозмірності 1 на замкнутоу многовиді $M$. Якщо $F$ має компактний шар $L$ із скінченною фундаментальною групою, то всі шари $F$ також є компактними і мають скінченну фундаментальну групу. Якщо шарування $F$ трансверсально орієнтовано, то кожен шар $F$ дифеоморфен $L$; при цьому многовид $M$ є тотальным пространством расслоения $f:M\to S^{1}$ над колом $S^{1}$ із шаром $L$.

Ця теорема вірна також і для многовиду з краєм, за умови, що шарування дотикаєтьсядо деяких компонент границі, а іншим трансверсально.. У цьому випадку, з неї випливає теорема Ріба про сферу.

Теорема Ріба про глобальну стабільність невірна для слоїнь коразмірності більшої за одиницю. Одначе, для деяких спеціальних класів слоїнь справедливі аналогічні результати:

• При наличии специальной трансверсальной структуры: Теорема: Нехай $F$ повне конформне шарування корозмірності $k\geq 3$ на зв'язному многовиді $M$. Якщо $F$ має компактний шар із скінченною групою голономії, то всі шари $F$ є компактними і мають скінченну групу голономії.
• Для голоморфних шарувань на келерових многовидах: Теорема: Нехай $F$ голоморфне шарування корозмірності $k$ на компактному комплексному келеровому многовиді. Якщо $F$ має компактний шар із скінченною групою голономії, то всі шари $F$ є компактними та мають скінченну групу голономії.

Література

• И. Тамура. Топология слоений — М: Мир, 1979.
• Д. Б. Фукс. Слоения — Итоги науки и техн. Сер. Алгебра. Топол. Геом., 18, ВИНИТИ, М., 1981, 151—213 [5]