Теорема віріалу

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Теорема віріалу — співвідношення, яке повязує середню кінетичну енергію системи часток із силами, які в ній діють[1]. Для класичної системи матеріальних точок теорема віріалу доведена у 1870 Клаузіусом.

Віріал[ред.ред. код]

Віріал G для множини N точкових частинок в механіці визначається як:

G = \sum_{k=1}^N\mathbf{p}_k\cdot\mathbf{r}_k,

де \mathbf{r}_k і \mathbf{p}_k — просторові вектори координат та імпульсів для k-ї частинки.

Вираз «віріал» походить від латинських слів «vis», «viris» — «сила» або «енергія». Воно було введене Клаузіусом в 1870 році.

Опис теореми[ред.ред. код]

Для стабільної системи, зв'язаної потенціальними силами, справедлива теорема віріалу[2]:

2\langle T\rangle=-\sum_{k=1}^N\langle\mathbf{F}_k\cdot\mathbf{r}_k\rangle,

де \langle T\rangle являє середню повну кінетичну енергію і \mathbf{F}_k — сила, що діє на k-ту частинку.

В частинному випадку, коли відповідна силі потенціальна енергія взаємодії V(r) пропорційна n-му ступеню відстані між частинками r, теорема віріалу приймає просту форму

2\langle T\rangle=n\langle U\rangle.

Іншими словами, подвоєна середня повна кінетична енергія T дорівнює n-кратній середній повній потенціальній енергії U.

Значення теореми віріалу заключається в тому, що вона дозволяє вирахувати середню повну кінетичну енергію навіть для дуже складних систем, що кидає виклик точним рішенням, які розглядає, наприклад, статистична механіка. Наприклад, теорему віріалу можна використовувати для виведення эквіпарціальної теореми (теорема про рівномірність розподілу енергії за степенями свободи) або вирахувати границю Чандрасекара для стабільності білого карлика.

Похідна по часу й усереднення[ред.ред. код]

Похідну по часу від віріалу можна записати

\frac{dG}{dt}=\sum_{k=1}^N\frac{d\mathbf{p}_k}{dt}\cdot\mathbf{r}_k+\sum_{k=1}^N\mathbf{p}_k\cdot\frac{d\mathbf{r}_k}{dt}=
=\sum_{k=1}^N\mathbf{F}_k\cdot\mathbf{r}_k+\sum_{k=1}^N m_k\frac{d\mathbf{r}_k}{dt}\cdot\frac{d\mathbf{r}_k}{dt}

або в простішій формі

\frac{dG}{dt}=2T+\sum_{k=1}^N\mathbf{F}_k\cdot\mathbf{r}_k.

Тут m_k маса k-ї частинки, \mathbf{F}_k=\frac{d\mathbf{p}_k}{dt} — повна сила, що діє на частинку, а T — повна кінетична енергія системи

T=\frac{1}{2}\sum_{k=1}^N m_k v_k^2=\frac{1}{2}\sum_{k=1}^N m_k\frac{d\mathbf{r}_k}{dt}\cdot\frac{d\mathbf{r}_k}{dt}.

Усереднення цієї похідної за час \tau визначається наступним чином:

\left\langle\frac{dG}{dt}\right\rangle_\tau=\frac{1}{\tau}\int\limits_0^\tau\frac{dG}{dt}\,dt=\frac{1}{\tau}\int\limits_0^\tau dG=\frac{G(\tau)-G(0)}{\tau},

звідки отримуємо точне рішення

\left\langle\frac{dG}{dt}\right\rangle_\tau=2\langle T\rangle_\tau+\sum_{k=1}^N\langle\mathbf{F}_k\cdot\mathbf{r}_k\rangle_\tau.

Твердження теореми[ред.ред. код]

Теорема віріалу стверджує:

Якщо \left\langle\frac{dG}{dt}\right\rangle_\tau=0, то

2\langle T\rangle_\tau=-\sum_{k=1}^N\langle\mathbf{F}_k\cdot\mathbf{r}_k\rangle_\tau.

Є декілька причин того, чому зникає усереднення по часу, тобто \left\langle\frac{dG}{dt}\right\rangle_\tau=0. Одна часто цитована причина апелює до зв'язаних систем, тобто до систем, які залишаються обмеженими в просторі. В цьому випадку віріал G^{\mathrm{bound}} зазвичай обмежений двома границями, G_\min і G_\max, і середнє прямує до нуля в межах дуже довгих часів \tau:

\lim_{\tau\to\infty}\left|\left\langle\frac{dG^{\mathrm{bound}}}{dt}\right\rangle_\tau\right|=\lim_{\tau\to\infty}\left|\frac{G(\tau)-G(0)}{\tau}\right|\leqslant\lim_{\tau\to\infty}\frac{G_\max-G_\min}{\tau}=0.

Якщо середнє значення похідної по часу \left\langle\frac{dG}{dt}\right\rangle_\tau\approx 0, теорема віріалу має ту саму степінь наближення.

Співвідношення з потенціальною енергією[ред.ред. код]

Повна сила \mathbf{F}_k, що діє на частинку k, це сума всіх сил, діючих з боку інших частинок j в системі

\mathbf{F}_k=\sum_{j=1}^N\mathbf{F}_{jk},

де \mathbf{F}_{jk} — сила, що діє на частинку j з боку частинки k. Звідси, доданок в похідній по часу від віріалу, що містить силу, можна переписати у вигляді:

\sum_{k=1}^N\mathbf{F}_k\cdot\mathbf{r}_k=\sum_{k=1}^N\sum_{j=1}^N\mathbf{F}_{jk}\cdot\mathbf{r}_k.

Оскільки відсутня самодія (тобто \mathbf{F}_{jk}=0, де j=k), отримаємо:

\sum_{k=1}^N\mathbf{F}_k\cdot\mathbf{r}_k=\sum_{k=1}^N\sum_{j<k}\mathbf{F}_{jk}\cdot\mathbf{r}_k+\sum_{k=1}^N\sum_{j>k}\mathbf{F}_{jk}\cdot\mathbf{r}_k=\sum_{k=1}^N\sum_{j<k}\mathbf{F}_{jk}\cdot(\mathbf{r}_k-\mathbf{r}_j),[3]

де ми припустимо, що виконується третій закон Ньютона, тобто \mathbf{F}_{jk}=-\mathbf{F}_{kj} (рівні за модулем і протилежні за напрямком).

Часто трапляється, що сили можуть бути отримані з потенціальної енергії V, яка є функцією лише відстані r_{jk} між точковими частинками j і k. Оскільки сила — це градієнт потенціальної енергії з протилежним знаком, то маємо

\mathbf{F}_{jk} = -\nabla_{\mathbf{r}_k}V=-\frac{dV}{dr}\frac{\mathbf{r}_k-\mathbf{r}_j}{r_{jk}},

котрий рівний за модулем і протилежний за напрямком вектору \mathbf{F}_{kj} = -\nabla_{\mathbf{r}_j}V — силі, що діє з боку частинки k на частинку j, що можна показати простими обрахунками. Звідси силовий доданок в похідній по часу від віріалу дорівнює

\sum_{k=1}^N\mathbf{F}_k\cdot\mathbf{r}_k=\sum_{k=1}^N\sum_{j<k}\mathbf{F}_{jk}\cdot(\mathbf{r}_k-\mathbf{r}_j)=-\sum_{k=1}^N\sum_{j<k} \frac{dV}{dr}\frac{(\mathbf{r}_k-\mathbf{r}_j)^2}{r_{jk}}=-\sum_{k=1}^N\sum_{j<k}\frac{dV}{dr}r_{jk}.

Застосування до сил, що залежать від відстані степеневим чином[ред.ред. код]

Часто виявляєтся, що потенціальна енергія V має вигляд степеневої функції

V(r_{jk})=\alpha r_{jk}^n,

де коефіцієнт \alpha і показник n — константи. В цьому випадку, силовий доданок в похідній від віріалу по часу задається наступними рівняннями

-\sum_{k=1}^N\mathbf{F}_k\cdot\mathbf{r}_k=\sum_{k=1}^N\sum_{j<k}\frac{dV}{dr}r_{jk}=\sum_{k=1}^N\sum_{j<k}nV(r_{jk})=nU,

де U — повна потенціальна енергія системи:

U=\sum_{k=1}^N\sum_{j<k}V(r_{jk}).

В таких випадках, коли середнє від похідної по часу від віріалу \left\langle\frac{dG}{dt}\right\rangle_\tau=0, виконується рівняння

\langle T\rangle_\tau=-\frac{1}{2}\sum_{k=1}^N\langle\mathbf{F}_k\cdot\mathbf{r}_k\rangle_\tau=\frac{n}{2}\langle U\rangle_\tau.

Популярний приклад — гравітаційне тяжіння, для якого n=-1. В такому випадку, середня кінетична енергія — половина середньої від'ємної потенціальної енергії

\langle T\rangle_\tau=-\frac{1}{2}\langle U\rangle_\tau.

Цей результат є надзвичайно корисним для складних гравітаційних систем, типу сонячна система чи галактика, і також виконується для електростатичної системи, для якої n=-1 теж.

Хоча цей вираз отриманий для класичної механіки, теорема віріалу також вірна для квантової механіки.

Врахування електромагнітних полів[ред.ред. код]

Теорему віріалу можна узагальнити для випадку електричних і магнітних полів. Результат:[4]

\frac{1}{2}\frac{d^2}{dt^2}I+\int\limits_V x_k\frac{\partial G_k}{\partial t}\,d^3r=2(T+U)+W^E+W^M-\int x_k(p_{ik}+T_{ik})\,dS_i,

де I — момент інерції, G — вектор Пойнтінга, T — кінетична енергія «рідини», U — випадкова теплова енергія частинок, W^E і W^M — енергія електричного і магнітного полів в розглянутому об'ємі системи, p_{ik} — тензор тиску рідини виражений в локальній рухомій системі координат, супутньої рідини:

p_{ik}=\Sigma n^\sigma m^\sigma\langle v_iv_k\rangle^\sigma-V_iV_k\Sigma m^\sigma n^\sigma

і T_{ik} — тензор напруженості електромагнітного поля:

T_{ik}=\left(\frac{\varepsilon_0E^2}{2}+\frac{B^2}{2\mu_0}\right)-\left(\varepsilon_0E_iE_k+\frac{B_iB_k}{\mu_0}\right).

Плазмоїд — обмежена конфігурація магнітних полів і плазми. За допомогою теореми віріалу легко показати, що будь-яка конфігурація розширюється, якщо не стримується зовнішніми силами. В кінцевій конфігурації поверхневий інтеграл зникне без стискаючих стін або магнітних катушок. Оскільки всі інші доданки з права додатні, прискорення моменту інерції також буде додатнє. Легко оцінити час розширення \tau. Якщо повна маса M обмежена в границях радіусу R, то момент інерції — приблизно MR^2, і ліва частина теореми віріалу — MR^2/\tau^2. Доданки з права складають в цілому величину порядку pR^3, де p — більше з плазмового тиску або магнітного тиску. Прирівнявши ці два члени і вирішуючи рівняння для \tau, знаходимо:

\tau\sim R/c_s,

де c_s є швидкістю йонної акустичної хвилі (або хвилі Альвена, якщо магнітний тиск вищий, ніж плазмовий тиск). Таким чином, час життя плазмоїду, як очікують, буде рівний за порядком величини акустичному (альвенівському) часу проходження.

Примітки[ред.ред. код]

  1. Астронет: Теорема віріалу(рос.)
  2. Академік: Теорема віріалу(рос.)
  3. Доведення цієї рівності
  4. Schmidt G. Physics of High Temperature Plasmas. — Second edition. — Academic Press, 1979. — p. 72.

Література[ред.ред. код]

  • Goldstein H. Classical Mechanics. — 2nd. ed. — Addison-Wesley, 1980. — ISBN 0-201-02918-9.