Функція Вігнера

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Функція Вігнера - функція координати та імпульсу квантової частинки, що має деякі властивості аналогічні функції розподілу класичної статистичної механіки. Функція була запропонована Юджином Вігнером в 1932 році для вивчення квантових поправок до класичної статистичної механіки. Ціллю було замінити хвильову функцію, яка з'являється в рівнянні Шредінгера на функцію розподілу ймовірності в фазовому просторі. Вона була незалежно виведена Андре Вейлем у 1931 році як символ матриці густини теорії представлень в математиці. Функція Вігнера застосовується в статистичній механіці, квантовій хімії, квантовій оптиці, класичній оптиці і аналізі сигналів в різних областях, таких як електроніка, сейсмологія, акустика, біологія.

Фізичний зміст[ред.ред. код]

Класична частинка має визначене положення та імпульс і тому представляється точкою в фазовому просторі. Коли є набір (ансамбль) частинок, ймовірність знайти частинку у визначеному малому об'ємі фазового простору задається функцією розподілу ймовірності. Це не вірно для квантової частинки через принцип невизначеності. Замість цього можна ввести квазі-ймовірнісний розподіл, який не завжди задовольняє всім властивостям нормальної функції розподілу ймовірності. Наприклад, функція Вігнера стає від'ємною для станів, які не мають класичних аналогів, тому може бути використана для ідентифікації некласичних станів.

Функція Вігнера визначається, як

 f_W(p,x) = \int \rho\left(x+ \frac{\eta}{2}, x - \frac{\eta}{2}\right)e^{-ip\eta/\hbar} d\eta ,

де  \rho(x, x^\prime) - матриця густини, x - координата частинки, p - імпульс, \hbar - зведена стала Планка.

Визначення ймовірності F(p) того, що частинка має імпульс p, за допомогою функції Вігнера задається формулою, аналогічною класичній формулі використання функцієї розподілу f(p,x):

 F(p) = \int f_W (p,x) dx .

Аналогічно, ймовірність F(x) того, що частинка перебуває в точці x, визначається за допомогою функції Вігнера формулою

 F(x)  = \int f_W (p,x ) dp.

Однак фунція Вігнера не може відігравати роль класичної фунції розподілу, тобто задавати ймовірність одночасного перебування частинки з імпульсом p в точці з координатою x, що неможливо через дію принципу невизначеності Гайзенберга. Функція Вігнера не всюди додатня, тобто не є ймовірністю.

Математичні властивості[ред.ред. код]

У цьому розділі функція Вігнера позначена літерою P
  1. P(x, p) — дійсна функція
  2. Розподіли ймовірності по x і p задаються інтегралами:
  3. P(x, p) має наступні дзеркальні симетрії:
    • Часова симетрія:
\psi(x) \rightarrow \psi(x)^* \Rightarrow P(x,p) \rightarrow P(x,-p)
    • Просторова симетрія:
\psi(x) \rightarrow \psi(-x) \Rightarrow P(x,p) \rightarrow P(-x,-p)
  1. P(x, p) інваріант відносно перетворень Галілея:
  2. Рівняння руху для кожної точки в фазовому просторі при відсутності сил:
    \frac{\partial P(x,p)}{\partial t}=-\frac{p}{m}\frac{\partial P(x,p)}{\partial x}
  3. Перекриття станів обраховується як:
    |\langle \psi|\theta \rangle|^2=2\pi\hbar\int\limits_{-\infty}^{\infty}dx\,\int\limits_{-\infty}^{\infty}dp\,P_{\psi}(x,p)P_{\theta}(x,p)
  4. Оператори і середні значення обраховуються як:
    • A(x,p)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}dy\, \langle x-y/2| \hat{A} |x+y/2 \rangle e^{ipy/\hbar}
    • \langle \psi|\hat{A}|\psi\rangle=Tr(\hat{\rho}\hat{A})=\int\limits_{-\infty}^{\infty}dx\, \int\limits_{-\infty}^{\infty}dp P(x,p)A(x,p)
  5. Для того, щоб P(x, p) представляла фізичні матриці густини, необхідно:
    \int\limits_{-\infty}^{\infty}dx\, \int\limits_{-\infty}^{\infty}dp\, P(x,p)P_{\theta}(x,p)\ge 0, де | \theta \rangle чистий стан.

Вимірювання функції Вігнера[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]

  • Фейнман Р. (1978). Статистическая механика. Москва: «Мир».