Функція Гріна

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Фу́нкція Грі́на — розв'язок неоднорідного рівняння або системи рівнянь математичної фізики з точковим джерелом.

Конкретне означення функції Гріна відповідає конкретній задачі математичної фізики. Функція Гріна містить повну інформацію про досліджуване рівняння, і за її допомогою можна побудувати розв'язок при будь-якій неодрорідності. Завдяки своїй інформативності функції Гріна широко використовуються в математичній фізиці, електродинаміці, квантовій механіці, квантовій теорії поля, статистичній фізиці тощо. Позначається здебільшого .

Функція Гріна названа на честь англійського математика Джорджа Гріна, який першим розвинув відповідну теорію в 1830-х роках.

Просторова функція Гріна[ред.ред. код]

При розв'язуванні задачі

,

де  — лінійний оператор, що заданий у просторі диференційовних функцій, f — невідома функція координат, а g — певна відома функція, зручно спиратися на функцію Гріна, яка визначається, як розв'язок задачі

,

де  — будь-яка точка простору, а  — дельта-функція Дірака.

Якщо функція Гріна відома, то розв'язок початкової задачі задається згорткою

Приклади[ред.ред. код]

Для оператора Лапласа рівняння для функції Гріна записується

Множник тут введено для спрощення кінцевих формул.

Розв'язок цього рівняння

Рівняння Пуасона для знаходження електростатичного потенціалу системи зарядів, розподілених в просторі із густиною записується

,

де  — діелектрична проникність середовища.

Використовуючи функцію Гріна, розв'язок рівняння Пуасона записується


Фізика Це незавершена стаття з фізики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.

Див. також[ред.ред. код]