Функція Гріна

Фу́нкція Грі́на — розв'язок неоднорідного рівняння або системи рівнянь математичної фізики з точковим джерелом.

Конкретне означення функції Гріна відповідає конкретній задачі математичної фізики. Функція Гріна містить повну інформацію про досліджуване рівняння, і за її допомогою можна побудувати розв'язок за будь-якої неодрорідності. Завдяки своїй інформативності функції Гріна широко використовуються в математичній фізиці, електродинаміці, квантовій механіці, квантовій теорії поля, статистичній фізиці тощо. Позначається здебільшого $G$.

Функція Гріна названа на честь англійського математика Джорджа Гріна, який першим розвинув відповідну теорію в 1830-х роках.

Просторова функція Гріна

При розв'язуванні задачі

${\hat {L}}f(\mathbf {r} )=g(\mathbf {r} )$,

де ${\hat {L}}$ — лінійний оператор, заданий у просторі диференційовних функцій, f — невідома функція координат, а g — певна відома функція, зручно спиратися на функцію Гріна, яка визначається, як розв'язок задачі

${\hat {L}}G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ^{\prime })=\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} ^{\prime })$,

де $\mathbf {r} ^{\prime }$ — будь-яка точка простору, а $\delta (\mathbf {r} )$ — дельта-функція Дірака.

Якщо функція Гріна відома, то розв'язок початкової задачі задається згорткою

$f(\mathbf {r} )=\int G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ^{\prime })g(\mathbf {r} ^{\prime })dV^{\prime }$

Приклади

Для оператора Лапласа рівняння для функції Гріна записується

$\Delta G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ^{\prime })=-4\pi \delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} ^{\prime }).$

Множник $-4\pi$ тут введено для спрощення кінцевих формул.

Розв'язок цього рівняння

$G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ^{\prime })={\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} ^{\prime }|}}$

Рівняння Пуасона для знаходження електростатичного потенціалу системи зарядів, розподілених в просторі із густиною $\rho (\mathbf {r} )$ записується

$\varepsilon \Delta \varphi =-4\pi \rho$,

де $\varepsilon$ — діелектрична проникність середовища.

Використовуючи функцію Гріна, розв'язок рівняння Пуасона записується

$\varphi (\mathbf {r} )=\int {\frac {\rho (\mathbf {r} ^{\prime })}{\varepsilon |\mathbf {r} -\mathbf {r} ^{\prime }|}}dV^{\prime }$

Див. також

• Резольвента
• Функція Гріна (теорія багаточастинкових систем)

Література

• Функції Гріна у квантовій статистиці твердих тіл : посібник / І. В. Стасюк ; М-во освіти і науки України, Львів. нац. ун-т ім. І. Франка. – Львів : Вид-во ЛНУ, 2013. – 392 с. : іл. – Бібліогр. в кінці розділів. – ISBN 978-617-10-0048-3

Функции Грина в теории магнетизма: монография / В. Г. Барьяхтар, В. Н. Криворучко, Д. А. Яблонский. Киев. Наукова Думка, 1984. - 336 с.

Метод функцій Гріна в теорії Металів: монографія / В. Т. Швець. Одеса: Латстар, 2002. - 400 с.