Функція Гріна (теорія багаточастинкових систем)

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Функція Гріна — математична конструкція, що використовується для опису квантових ситем багатьох частинок, зокрема в квантовій теорії поля та в статистичній фізиці. Назва функції пов'язана із функцією Гріна, що використовується в математиці, оскільки вони задовольняють схожі рівняння із точковим джерелом. Функція Гріна містить повну інформацію про квантову систему.

У теорії багатьох частинок поняття функції Гріна використовується для позначення всіх кореляційних функцій, але найчастіше означає корелятор польових операторів народження і знищення.

Двоточкова функція Гріна визначається як:

Тут G — функція Гріна,  — оператори поля в гайзенбергівському зображенні,  — основний стан квантової системи,  — оператор часового упорядкування. Часове упорядкування означає те, що всі оператори повинні бути розташовані в порядку зменшення часу. При цьому для ферміонів унаслідок комутаційних співвідношень оператор упорядкування вносить також множник (-1)p, де p — кількість перестановок, необхідна для встановлення правильного порядку часів.

Загалом функція Гріна невідома й задача її відшукання аналогічна розв'язанню рівняння Шредінгера, але формалізм функцій Гріна для багаточастинкових систем закладає зручну основу для теорії збурень і використання техніки діаграм Фейнмана.

Просторово однорідний випадок

[ред. | ред. код]

Основні означення

[ред. | ред. код]

Розглядається теорія багатьох частинок з польовим оператором (оператором знищення у координатному представленні) .

Від картини Шредінгера можна перейти до картини Гейзенберга:

де  — гамільтоніан системи, що описується великим канонічним ансамблем.

Аналогічно для операторів з уявним часом:

причому легко бачити, що такий уявночасовий оператор народження не є ермітово спряженим до оператора знищення .

У випадку дійсного часу -точкова функція Гріна означається таким чином:

де використана скорочена нотація, в якій під мається на увазі , а позначає . Крім того, оператор позначає часове впорядкування, тому польові оператори за ним впорядковуються таким чином, що їхні часові аргументи зростають зправа наліво.

Для уявного часу відповідне означення має вигляд:

де під мається на увазі . Варто відмітити, що уявночасові змінні обмежені значеннями від нуля до оберненої температури , де  — стала Больцмана.

Треба відзначити, що приймається така домовленість щодо знаків та нормування: знак функції Гріна обирається так, аби перетворення Фур'є двоточкової () термальної функції Гріна для вільних частинок мало такий вигляд:

а для запізнювальної функції Гріна:

де є мацубарівськими частотами. Крім того, дорівнює для бозонів і для ферміонів, а позначає відповідно комутатор або антикомутатор.

Фур'є-образ функції Гріна

[ред. | ред. код]

Для просторово однорідних систем, гамільтоніан яких не залежить від часу, функція Гріна залежить від різниці часів та координат:

Важливим і зручним для використання є фур'є-образ функції Гріна:

Застосування в фізиці твердого тіла

[ред. | ред. код]

Функція Гріна фермі-газу, в якому електрони не взаємодіють між собою, має вигляд:

де  — енергія електронних станів, m — маса електрона,  — зведена стала Планка, а  — нескінченно мала величина, причому для , і при . Тут  — значення хвильового вектора на сфері Фермі.

Така поведінка характерна для функції Гріна взагалі. Її полюси на комплексній площині частоти або енергії визначають спектр станів системи. У випадку ідеального фермі-газу полюси розташовані близько до дійсної осі ( — нескінченно мала). При розгляді систем частинок, що взаємодіють між собою, полюси функції Гріна лежать на певній віддалі від дійсної осі, а тому містять уявну частину, яка описує затухання збуджень.

Див. також

[ред. | ред. код]

Джерела

[ред. | ред. код]
  • Ребенко О. Л. Основи сучасної теорії взаємодіючих квантованих полів. — К. : Наукова думка, 2007. — 539 с. — ISBN 978-966-00-0665-2.
  • Стасюк І. В. Функції Ґріна у квантовій статистиці твердих тіл. — Л. : ЛНУ імені Івана Франка, 2013. — 392 с. — ISBN 978-617-10-0048-3.
  • Абрикосов А. А., Горьков Л. П., Дзялошинский И. Е. Методы квантовой теории поля в статистической физике. — М. : ГИФМЛ, 1962. — 444 с.
  • Блейзо Ж.-П., Рипка Ж. Квантовая теория конечных систем. — К. : Феникс, 1998. — 480 с.
  • Зи Э. Квантовая теория поля в двух словах. — Ижевск : РХД, 2009. — 632 с.
  • Каданов Л., Бейм Г. Квантовая статистическая механика. — М. : Мир, 1964. — 256 с.
  • Маделунг О. Физика твердого тела: Локализованные состояния. — М. : Наука, 1985. — 184 с.
  • Райдер Л. Квантовая теория поля. — М. : Мир, 1987. — 511 с.
  • Садовский М. В. Диаграмматика. Лекции по избранным задачам теории конденсированного состояния. — Ижевск : РХД, 2010. — 376 с.
  • Цвелик А. М. Квантовая теория поля в физике конденсированного состояния. — М. : Физматлит, 2004. — 320 с.