Задача Діріхле

Розв'язання задачі Діріхле на кільці з крайовими умовами: $u(2,\varphi )=0$, $u(4,\varphi )=4\sin(5\varphi )$

Задача Діріхле — вид задач, що з'являється при розв'язанні диференціального рівняння з частинними похідними другого порядку. Названа на честь Йоганна Діріхле.

Постановка задачі

Задача Діріхле ставиться в такий спосіб: нехай в області $\Omega$ задано рівняння

$\Delta u=0$

де $\Delta$ — оператор Лапласа. З крайовими умовами:

${\Bigl .}u{\Bigr |}_{\partial \Omega }=g(\mathbf {x} )$

Така задача називається внутрішньою задачею Діріхле або першою крайовою задачею. Самі умови називаються умовами Діріхле або першими крайовими умовами. Друга назва може трактуватися ширше, вказує на будь-яку задачу розв'язання диференціального рівняння, коли відомо значення шуканої функції на всій границі області. У випадку, коли треба знайти значення функції поза областю $\Omega$ задача називається зовнішньою задачею Діріхле.

Пов'язані теореми

Теорема. Розв'язання задачі Діріхле, внутрішньої або зовнішньої, єдине

Аналітичне розв'язання

Аналітично задача Діріхле може бути розв'язана за допомогою теорії потенціалу. Розв'язання однорідного рівняння можна представити у вигляді:

$u(\mathbf {x} )=\int _{\partial \Omega }{g(\mathbf {x} ){\frac {\partial G(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )}{\partial n}}dx}$,

де $G(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )$ — функція Гріна для оператора Лапласа в області $\Omega$.

Чисельне розв'язання

Побудова аналітичного виразу для функції Гріна в складних областях може викликати труднощі, тому для розв'язання таких задач доводиться користуватися чисельними методами. Для кожного методу свої особливості врахування перших крайових умов:

• В методі скінчених різниць для вузлів на границі області записується рівняння $\mathbf {q} _{i}=g(\mathbf {x} _{i})$, де $i$ — номер відповідного вузла.
• В методі скінчених елементів такі крайові умови називають головними крайовими умовами і вони враховуються на етапі складання матриці, для всіх ваг пов'язаних з границею рівняння замінюються на рівняння виду $\mathbf {q} _{i}=g(\mathbf {x} _{i})$, далі виконується кілька кроків методом Гауса, щоб отримана матриця була симетричною.

Фізична інтерпретація

Фізична інтерпретація умов Діріхле — поведінка шуканої величини на границі:

• Температура, якщо розглядається рівняння теплопровідності
• Поле швидкості, якщо розглядається рівняння Стокса
• Магнітне поле або електричне поле, якщо розглядається деяке рівняння, що отримується з рівнянь Максвелла (тоді крайові умови називають магнітними або електричними крайовими умовами, відповідно).

Див. також

• Диференціальне рівняння еліптичного типу
• Завдання Неймана
• Інтеграл Пуассона
• Перетворення Кельвіна