Формула Іто

Лема Іто використовується в стохастичному аналізі для знаходження диференціалу від функції, аргументом якої є випадковий процес. Назву отримала на честь японського математика Кійоші Іто. Лема є аналогом правила диференціювання складної функції в звичайному математичному аналізі. Її найкраще можна запам'ятати, використовуючи розклад функції в ряд Тейлора до другого степеня по випадковому компоненту функції. Результат широко використовується у фінансовій математиці, зокрема у формулі Блека — Шоулза для оцінки вартості кол-опціонів. Формулу іноді називають теоремою Іто — Добліна на честь Вольвганга Добліна, який також її вивів, але його записки були знайдені і оприлюднені тільки в 2000 році.

Лема Іто

Для дифузійних процесів

Найпростіше формулювання леми Іто: для дифузійного процесу

$dX_{t}=\sigma _{t}\,dB_{t}+\mu _{t}\,dt$

де $dB_{t}\,$ — диференціал Вінерівського процесу. Виразом $(dB_{t})^{2}\,$ не можна знехтувати у розкладі Тейлора, він еквівалентний $dt\,$, тоді як $(dB_{t})^{3}\approx dB_{t}dt\approx (dt)^{\frac {3}{2}}$ так само як і $(dt)^{2}\,$ зануляється і ними можна знехтувати. Тому для двічі неперервно-диференційовної функції ƒ(t, x) (тобто для цієї функції визначені перша і друга частинні похідні) від двох дійсних параметрів t і x, використовуючи розклад Тейлора

${\begin{aligned}df(t,x)={\frac {\partial f}{\partial t}}dt+{\frac {\partial f}{\partial x}}dx+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial ^{2}f}{\partial t^{2}}}(dt)^{2}+2{\frac {\partial ^{2}f}{\partial t\partial x}}dtdx+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}(dx)^{2}\right)+\cdots \end{aligned}}$

використовуючи позначення

$f'(t,x)={\frac {\partial f}{\partial x}}(t,x),\quad f''(t,x)={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}(t,x),\quad {\dot {f}}(t,x)={\frac {\partial f}{\partial t}}(t,x)$

і замінюючи $dx\,$ на $\sigma _{t}\,dB_{t}+\mu _{t}\,dt$, отримуємо

${\begin{aligned}df(t,X_{t})&={\dot {f}}(t,X_{t})\,dt+f'(t,X_{t})(\mu _{t}\,dt+\sigma _{t}\,dB_{t})+{\frac {1}{2}}f''(t,X_{t})\sigma _{t}^{2}\,dt=\\&=\left({\dot {f}}(t,X_{t})+\mu _{t}f'(t,X_{t})+{\frac {\sigma _{t}^{2}}{2}}f''(t,X_{t})\right)dt+f'(t,X_{t})\sigma _{t}\,dB_{t}\end{aligned}}$

Багатовимірний варіант,

$df\left(t,X_{t}\right)={\dot {f}}_{t}\left(t,X_{t}\right)dt+\nabla _{X_{t}}^{T}f\cdot dX_{t}+{\frac {1}{2}}dX_{t}^{T}\cdot \nabla _{X_{t}}^{2}f\cdot dX_{t}$

де $X_{t}=\left(X_{t,1},X_{t,2},\cdots ,X_{t,n}\right)^{T}$ — вектор дифузійних процесів, ${\dot {f}}_{t}\left(t,X\right)$ — частинна похідна по t, $\nabla _{X}^{T}f$ — градієнт функції ƒ по X, і $\nabla _{X}^{2}f$ — матриця Гессе функції ƒ по X.

Неперервні напівмартингали

Більш загально формула Іто виконується для будь-якого неперервного d-вимірного напівмартингалу X = (X¹,X²,…,X^d), і двічі неперервно-диференційовної і дійснозначної функції f в R^d.

Іноді формулу презентують з перехресною варіацією наступним чином, f(X) напівмартингал, що задовольняє формулу Іто

$df(X_{t})=\sum _{i=1}^{d}f_{i}(X_{t})\,dX_{t}^{i}+{\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{d}f_{ij}(X_{t})\,d[X^{i},X^{j}]_{t}.$

В цьому виразі f_i — частинна похідна функції f(x) по xⁱ, і [Xⁱ,X^j ] — квадратична варіація процесів Xⁱ і X^j.

Розривні напівмартинали

Лема Іто може бути застосована до загальних d-вимірних напівмартингалів, які можуть бути розривними. Взагалі напівмартингали — це càdlàg-процес (неперервний справа процес, що має лівосторонні границі), і тому додатковий одночлен необхідний для того щоб стрибки процесу були враховані лемою Іто.

Для довільного càdlàg-процесу Y_t, лівостороння границя в точці t позначається Y_t- і цей процес є неперервним зліва процесом. Стрибки записують як ΔY_t = Y_t - Y_t-. Тоді лема Іто стверджує: якщо X = (X¹,X²,…,X^d) — d-вимірний напівмартингал і f двічі неперервно диференційовна дійсно-значна функція на R^d тоді f(X) — напівмартингал, і

${\begin{aligned}f(X_{t})=&f(X_{0})+\sum _{i=1}^{d}\int _{0}^{t}f_{i}(X_{s-})\,dX_{s}^{i}+{\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{d}\int _{0}^{t}f_{i,j}(X_{s-})\,d[X^{i},X^{j}]_{s}\\&{}+\sum _{s\leq t}\left(\Delta f(X_{s})-\sum _{i=1}^{d}f_{i}(X_{s-})\,\Delta X_{s}^{i}-{\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{d}f_{i,j}(X_{s-})\,\Delta X_{s}^{i}\,\Delta X_{s}^{j}\right).\end{aligned}}$

Ця формула відрізняється від випадку неперервних напівмартингалів додатковою сумою по стрибках X, що забезпечує рівність стрибка правої частини тотожності ( в час t) стрибку лівої частини Δf(X_t).

Неформальне виведення

Формальне доведення леми вимагає знаходження границі послідовності випадкових величин. Тут ми тільки дамо схему доведення леми Іто з використанням розкладу функції в ряд Тейлора і застосуванням правил стохастичного числення.

Нехай маємо процес Іто, записаний у формі

$dx=a\,dt+b\,dB.\!$

Розкладаючи f(x, t) в ряд Тейлора в точці x і t маємо

$df={\frac {\partial f}{\partial x}}\,dx+{\frac {\partial f}{\partial t}}\,dt+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}\,dx^{2}+\cdots$

і підстановка dt + b dB замість dx дає

$df={\frac {\partial f}{\partial x}}(a\,dt+b\,dB)+{\frac {\partial f}{\partial t}}\,dt+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}(a^{2}\,dt^{2}+2ab\,dt\,dB+b^{2}\,dB^{2})+\cdots .$

Границя при dt прямуючи до 0, dt² та dt dB прямують до нуля, але вираз dB² прямує до dt. Останній факт можна довести якщо ми покажемо, що

$dB^{2}\rightarrow E(dB^{2}),$ since $E(dB^{2})=dt.\,$

Викидаючи доданки з dt² та dt dB, підставляючи dt замість dB², і зводячи доданки з dt та dB, отримуємо

$df=\left(a{\frac {\partial f}{\partial x}}+{\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}b^{2}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}\right)dt+b{\frac {\partial f}{\partial x}}\,dB$

що й потрібно було показати.

Формальне доведення леми набагато складніше.

Див. також

• Інтеграл Іто
• Теорема Ґірсанова
• Вінерівський процес
• Формула Фейнмана — Каца