Тензорне розшарування

Тензорне розшарування типу $(p,\;q)$ на диференційовному многовиді $M$ — це векторне розшарування $T^{p,\;q}(M)$ над $M$, асоційоване з розшаруванням дотичних реперів і таке що має як стандартний шар простір $T^{p,\;q}(\mathbb {R} ^{n})$ тензорів типу $(p,\;q)$ на $\mathbb {R} ^{n}$, в якому група $GL(n,\;\mathbb {R} )$ діє за допомогою тензорного представлення. Наприклад, $T^{1,\;0}(M)$ збігається з дотичним розшаруванням $T(M)$ над $M$, a $T^{0,\;1}(M)$ — з кодотичним розшаруванням $T(M)^{*}$.

У загальному випадку тензорне розшарування ізоморфно тензорному добутку дотичних і кодотичних розшарувань:

$T^{p,\;q}(M)\cong {\overset {p}{\bigotimes }}\,T(M)\,\bigotimes \,{\overset {q}{\bigotimes }}\,T(M)^{*}$

Самі розшарування є лише основою для побудови перетинів тензорних розшарувань типу $(p,\;q)$, які називаються тензорними полями типу $(p,\;q)$ і є основним об'єктом дослідження диференціальної геометрії. Так, наприклад, ріманова структура на $M$ — це гладкий перетин розшарування $T^{0,\;2}(M)$, значення якого є позитивно визначеними симетричними формами.

Гладкі перетини розшарування $T^{p,\;q}(M)$ утворюють модуль $D^{p,\;q}(M)$ над алгеброю $F^{\infty }(M)=D^{0,\;0}(M)$ гладких функцій на $M$. Якщо $M$ — паракомпактний многовид, то

$D^{p,\;q}(M)\cong {\overset {p}{\bigotimes }}\,D^{1}(M)\,\bigotimes \,{\overset {q}{\bigotimes }}\,D^{1}(M)^{*},$

де $D^{1}(M)=D^{1,\;0}(M)$ — модуль гладких векторних полів, $D^{1}(M)^{*}=D^{0,\;1}(M)$ - модуль пфаффових диференціальних форм, а тензорні добутки беруться над $F^{\infty }(M)$.

У класичній диференціальній геометрії тензорні поля іноді називають просто тензорами на $M$.

Література

• Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. — Новокузнецкий физико-математический институт, 1999. — Т. 1. — 344 с. — ISBN 5-80323-180-0..
• Хелгасон С. Дифференциальная геометрия, группы Ли и симметрические пространства. — Факториал Пресс, 2005. — 608 с. — (XX век. Математика и механика) — ISBN 5-88688-076-3..