Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Зірчата область відносно точки
x
0
{\displaystyle x_{0}}
Кільце не є зірчатою областю
Зірчата область , відносно фіксованої точки
x
0
{\displaystyle x_{0}}
— область
D
{\displaystyle D}
евклідового простору ,
R
n
,
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}
така, що відрізок , що сполучає довільну точку області
D
{\displaystyle D}
з точкою
x
0
{\displaystyle x_{0}}
, цілком належить цій області.
Формально, область
D
⊆
R
n
{\displaystyle D\subseteq \mathbb {R} ^{n}}
називається зірчатою щодо точки
x
0
∈
D
{\displaystyle x_{0}\in D}
якщо для всіх точок
x
∈
D
{\displaystyle x\in D}
відрізок
[
x
0
x
]
=
{
x
0
+
t
(
x
−
x
0
)
:
t
∈
[
0
,
1
]
}
{\displaystyle [x_{0}\,x]=\left\{x_{0}+t(x-x_{0})\;\colon \;t\in [0,1]\right\}}
повністю належить
D
{\displaystyle D}
.
Приклади
Довільна лінія або площина в
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
є зірчатою областю.
Довільна опукла область є зірчатою.
Область є опуклою тоді і тільки тоді, коли вона є зірчатою відносно кожної своєї точки.
Якщо A є множиною в
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
, то множина
B
=
{
t
a
:
a
∈
A
,
t
∈
[
0
,
1
]
}
{\displaystyle B=\{ta:a\in A,t\in [0,1]\}}
є зірчастою щодо початку координат.
Властивості
Зірчаста область є стягуваною множиною , зокрема вона є однозв'язною .
Непуста відкрита зірчата область
D
⊆
R
n
{\displaystyle D\subseteq \mathbb {R} ^{n}}
є дифеоморфною
R
n
.
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}
Непуста множина
D
⊆
R
n
{\displaystyle D\subseteq \mathbb {R} ^{n}}
є зірчатою щодо точки
x
0
{\displaystyle x_{0}}
тоді і тільки тоді коли її образ при перетворенні гомотетії з центром в точці
x
0
{\displaystyle x_{0}}
і коефіцієнтом t є підмножиною
D
{\displaystyle D}
для всіх
t
∈
[
0
,
1
]
{\displaystyle t\in \left[0,1\right]}
.
Підмножина
D
{\displaystyle D}
дійсного векторного простору
E
{\displaystyle E}
є зірчатою щодо точки
0
{\displaystyle 0}
тоді і тільки тоді коли існує функція
p
:
E
→
[
0
,
+
∞
]
{\displaystyle p:E\to \left[0,+\infty \right]}
для якої
∀
t
∈
[
0
,
+
∞
[
∀
x
∈
E
p
(
t
x
)
=
t
p
(
x
)
{\displaystyle \forall t\in \left[0,+\infty \right[\quad \forall x\in E\quad p(tx)=tp(x)}
, (приймається
0
×
∞
=
0
{\displaystyle 0\times \infty =0}
) і також
{
x
∈
E
∣
p
(
x
)
<
1
}
⊂
D
⊂
{
x
∈
E
∣
p
(
x
)
⩽
1
}
{\displaystyle \{x\in E\mid p(x)<1\}\subset D\subset \{x\in E\mid p(x)\leqslant 1\}}
. Для відкритої множини
D
=
{
x
∈
E
∣
p
(
x
)
<
1
}
,
{\displaystyle D=\{x\in E\mid p(x)<1\},}
для замкнутої
D
=
{
x
∈
E
∣
p
(
x
)
⩽
1
}
,
{\displaystyle D=\{x\in E\mid p(x)\leqslant 1\},}
Ця функція є функціоналом Мінковського множини
D
{\displaystyle D}
:
∀
x
∈
E
p
(
x
)
=
inf
{
λ
>
0
∣
x
∈
λ
D
}
{\displaystyle \forall x\in E\quad p(x)=\inf {\{\lambda >0\mid x\in \lambda D\}}}
. Зірчаста область щодо точки
0
{\displaystyle 0}
є обмеженою тоді і тільки тоді коли
p
(
x
)
>
0
,
x
∈
D
,
x
≠
0.
{\displaystyle p(x)>0,\quad x\in D,\;x\not =0.}
Вона є опуклою якщо
p
(
x
+
y
)
⩽
p
(
x
)
+
p
(
y
)
.
{\displaystyle p(x+y)\leqslant p(x)+p(y).}
Див. також
Література
Касселс Дж., Введение в геометрию чисел , пер. с англ., М., 1965