Секційна кривина

В рімановій геометрії, секційна кривина є однією із кривин ріманового многовиду. Секційна кривина K(σ_p) залежить від вибору двовимірної площині σ_p в дотичному просторі в точці p. У двовимірному рімановому многовиді секційна кривина збігається з гаусовою кривиною.

Секційна кривина повністю визначається тензором кривини.

Визначення

Для ріманового многовиду та двох лінійно незалежних дотичних векторів X і Y в точці p ($X,\ Y\in T_{p}M$)

$K(X,Y)={\langle R(X,Y)Y,X\rangle \over \langle X,X\rangle \langle Y,Y\rangle -\langle X,Y\rangle ^{2}}$

Тут R — тензор кривини Рімана. В локальних координатах

$K(X,Y)={R_{ijkl}T^{ij}T^{kl} \over (g_{ik}g_{jl}-g_{il}g_{jk})T^{ij}T^{kl}},$

де бівектор $T^{nm}=X^{n}Y^{m}-Y^{n}X^{m}$.

Секційна кривина залежить від вибору двовимірної площини, але не залежить від векторів X і Y, які визначають цю площину.

Зокрема, якщо X і Y ортонормовані, то

$K(X,Y)=\langle R(X,Y)Y,X\rangle$

Теорема Топоногова про порівняння кутів

Нехай в повному рімановому многовиді M всі секційні кривини $K_{\sigma }\geqslant k=const$. Тоді для будь-якого геодезичного трикутника $\triangle$ в M знайдеться на $k$-площині такий геодезичний трикутник $\triangle _{k}$ з тими ж довжинами сторін, що і у трикутника $\triangle$, у якого кожний з кутів не буде перевищувати відповідного йому кута трикутника $\triangle$.

Під $k$-площиною мається на увазі двовимірний многовид сталої кривини $k$ — площина Лобачевського, сфера або евклідова площина.

Джерела

• Борисенко, О. А. Диференціальна геометрія і топологія: Навч. посібник для студ. — Харків : Основа, 1995. — 304 с. — ISBN 5-7768-0388-8.