Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
У математиці p-групою, де p — просте число , називається група в якій порядок кожного елемента є степенем числа p , тобто для кожного елемента g існує натуральне число n, що gpn =1 і для всіх додатних m < pn елемент gm не є рівним нейтральному. Якщо група скінченна, то її порядок тоді теж рівний деякій степені числа p (оскільки згідно теорем Силова кожна p-підгрупа, зокрема і сама група має міститися у деякій підгрупі Силова і тому група сама є своєю підгрупою Силова, тобто її порядок є степенем числа p ). В основному інтерес представляють саме скінченні p-групи.
Центр p-групи
Однією з найважливіших властивостей скінченних p-груп є наступна теорема:
Центр нетривіальної скінченної p-групи є нетривіальною групою.
Доведення
Візьмемо деяку p-групу G (
|
G
|
=
p
k
{\displaystyle |G|=p^{k}}
) і задамо дію групи G на множині G:
ϕ
:
G
×
G
→
G
;
ϕ
(
g
,
x
)
=
g
x
g
−
1
{\displaystyle ~\phi \colon G\times G\to G;\phi (g,x)=gxg^{-1}}
Спершу доведемо, що орбіта довільного елемента складається лише з того елемента тоді і лише тоді коли цей елемент належить до центру групи:
∀
x
∈
G
|
G
(
x
)
|
=
1
⟺
x
∈
Z
(
G
)
{\displaystyle \forall _{x\in G}|G(x)|=1\iff x\in Z(G)}
Візьмемо довільний
g
∈
G
{\displaystyle g\in G}
. Тоді:
g
x
g
−
1
=
x
=
g
g
−
1
x
⟺
g
x
g
−
1
=
g
g
−
1
x
⟺
x
∈
Z
(
G
)
{\displaystyle gxg^{-1}=x=gg^{-1}x\iff gxg^{-1}=gg^{-1}x\iff x\in Z(G)}
Далі доведемо, що якщо деяка орбіта має більш ніж один елемент то її порядок ділиться на p:
∀
x
∈
G
|
G
(
x
)
|
>
1
⇒
p
|
|
G
(
x
)
|
{\displaystyle \forall _{x\in G}|G(x)|>1\Rightarrow p||G(x)|}
Припустимо, що для
x
∈
G
{\displaystyle x\in G}
маємо
|
G
(
x
)
|
>
1
{\displaystyle |G(x)|>1}
. Оскільки стабілізатор
G
x
{\displaystyle G_{x}}
є підгрупою G, то згідно з теоремою Лагранжа кількість його елементів ділить кількість елементів G , отже
|
G
x
|
=
p
l
,
l
>
0
{\displaystyle |G_{x}|=p^{l},l>0}
. Далі:
|
G
(
x
)
|
=
|
G
:
G
x
|
=
|
G
|
|
G
x
|
=
p
k
p
l
=
p
k
−
l
{\displaystyle |G(x)|=|G:G_{x}|={\frac {|G|}{|G_{x}|}}={\frac {p^{k}}{p^{l}}}=p^{k-l}}
G є об'єднанням орбіт:
G
=
⋃
G
(
x
)
=
⋃
|
G
(
x
)
|
=
1
G
(
x
)
∪
⋃
|
G
(
x
)
|
>
1
G
(
x
)
{\displaystyle G=\bigcup G(x)=\bigcup _{|G(x)|=1}G(x)\cup \bigcup _{|G(x)|>1}G(x)}
Звідси отримуємо:
p
k
=
|
G
|
=
∑
|
G
(
x
)
|
=
1
|
G
(
x
)
|
+
∑
|
G
(
x
)
|
>
1
G
(
x
)
=
|
Z
(
G
)
|
+
∑
i
=
1
s
p
a
i
{\displaystyle p^{k}=|G|=\sum \limits _{|G(x)|=1}|G(x)|+\sum \limits _{|G(x)|>1}G(x)=|Z(G)|+\sum _{i=1}{s}p^{a_{i}}}
де s — кількість орбіт, що містять більше одного елемента, а всі ai більше нуля.
З останньої формули одержуємо, що |Z(G)| ділиться на p .
Властивості
Якщо
H
{\displaystyle H}
нормальна в
P
{\displaystyle P}
, то
|
H
∩
Z
(
P
)
|
>
1
{\displaystyle |H\cap Z(P)|>1}
.
Дана властивість одержується з теореми про центр, якщо врахувати, що будь-яка підгрупа p-групи сама є p-групою і що нормальна підгрупа інваріантна до спряжень. Тому в попередньому доведенні можна взяти H замість P і
H
∩
Z
(
P
)
{\displaystyle H\cap Z(P)}
замість Z(P) .
Скінченні p-групи невеликих порядків
Число різних
p
{\displaystyle p}
-групп порядку
p
n
{\displaystyle p^{n}}
Число неізоморфних груп порядку
p
{\displaystyle p}
рівне 1: група
C
p
{\displaystyle C_{p}}
.
Число неізоморфних груп порядку
p
2
{\displaystyle p^{2}}
рівно 2: групи
C
p
2
{\displaystyle C_{p^{2}}}
і
C
p
×
C
p
{\displaystyle C_{p}\times C_{p}}
.
Число неізоморфних груп порядку
p
3
{\displaystyle p^{3}}
рівне 5, з них три абелеві :
C
p
3
{\displaystyle C_{p^{3}}}
,
C
p
2
×
C
p
{\displaystyle C_{p^{2}}\times C_{p}}
,
C
p
×
C
p
×
C
p
{\displaystyle C_{p}\times C_{p}\times C_{p}}
і дві неабелеві: при
p
>
2
{\displaystyle p>2}
—
E
p
3
+
{\displaystyle E_{p^{3}}^{+}}
і
E
p
3
−
{\displaystyle E_{p^{3}}^{-}}
; при p = 2 —
D
8
{\displaystyle D_{8}}
,
Q
8
{\displaystyle Q_{8}}
.
Число неізоморфних груп порядку
p
4
{\displaystyle p^{4}}
рівне 15 при
p
>
2
{\displaystyle p>2}
, число груп порядку
2
4
{\displaystyle 2^{4}}
рівне 14.
Число неізоморфних груп порядку
p
5
{\displaystyle p^{5}}
рівне
2
p
+
61
+
2
G
C
D
(
p
−
1
,
3
)
+
G
C
D
(
p
−
1
,
4
)
{\displaystyle 2p+61+2GCD(p-1,3)+GCD(p-1,4)}
при
p
≥
5
{\displaystyle p\geq 5}
. Число груп порядку
2
5
{\displaystyle 2^{5}}
рівне 51, число груп порядку
3
5
{\displaystyle 3^{5}}
рівне 67.
Число неізоморфних груп порядку
p
6
{\displaystyle p^{6}}
рівне
3
p
2
+
39
p
+
344
+
24
G
C
D
(
p
−
1
,
3
)
+
11
G
C
D
(
p
−
1
,
4
)
+
2
G
C
D
(
p
−
1
,
5
)
{\displaystyle 3p^{2}+39p+344+24GCD(p-1,3)+11GCD(p-1,4)+2GCD(p-1,5)}
при
p
≥
5
{\displaystyle p\geq 5}
. Число груп порядку
2
6
{\displaystyle 2^{6}}
рівне 267, число груп порядку
3
6
{\displaystyle 3^{6}}
рівне 504.
Число неізоморфних груп порядку
p
7
{\displaystyle p^{7}}
рівне
3
p
5
+
12
p
4
+
44
p
3
+
170
p
2
+
707
p
+
2455
+
(
4
p
2
+
44
p
+
291
)
G
C
D
(
p
−
1
,
3
)
+
(
p
2
+
19
p
+
135
)
G
C
D
(
p
−
1
,
4
)
+
(
3
p
+
31
)
G
C
D
(
p
−
1
,
5
)
+
4
G
C
D
(
p
−
1
,
7
)
+
5
G
C
D
(
p
−
1
,
8
)
+
G
C
D
(
p
−
1
,
9
)
{\displaystyle 3p^{5}+12p^{4}+44p^{3}+170p^{2}+707p+2455+(4p^{2}+44p+291)GCD(p-1,3)+(p^{2}+19p+135)GCD(p-1,4)+(3p+31)GCD(p-1,5)+4GCD(p-1,7)+5GCD(p-1,8)+GCD(p-1,9)}
при
p
>
5
{\displaystyle p>5}
. Число груп порядку
2
7
{\displaystyle 2^{7}}
рівне 2328, число груп порядк
3
7
{\displaystyle 3^{7}}
рівне 9310, число груп порядку
5
7
{\displaystyle 5^{7}}
рівне 34297.
p-групи порядку pn , асимптотика
При
n
→
∞
{\displaystyle n\rightarrow \infty }
число неізоморфних груп порядку
p
n
{\displaystyle p^{n}}
асимптотично рівне
p
(
2
/
27
+
O
(
n
−
1
/
3
)
)
n
3
{\displaystyle p^{(2/27+O(n^{-1/3}))n^{3}}}
.
Див. також
Література