Лінзовий простір

Лінзовий простір — многовид непарновимірної розмірності, що є фактор-простором $S^{2n-1}/\mathbb {Z} _{p}$ сфери $S^{2n-1}$ за ізометричною вільною дією циклічної групи $\mathbb {Z} _{p}$.

Сферу $S^{2n-1}$ завжди можливо розташувати в комплексному просторі $\mathbb {C} ^{n}$ з фіксованим базисом, так щоб твірна $\mathbb {Z} _{p}$, діяла на кожній координаті $z_{i}$ множеннями на $\xi _{p}^{q_{i}}$ де $\xi _{p}=\exp {2\pi i/p}$. Така дія є вільною тоді і тільки тоді, коли для кожного $i$, $q_{i}$ взаємнопросте з $p$. Цей простір зазвичай позначається $L(p;q_{1},\ldots ,q_{n})$.

Фундаментальну область дії $\mathbb {Z} _{p}$ на $S^{2n-1}$ зручно уявляти у вигляді «лінзи» — перетину двох півсфер — звідки й виникла назва «лінзовий простір».

Властивості

• Пряма межа лінзових просторів при $n\to \infty$ дає простір Ейленберга — Маклейна типу $K(\mathbb {Z} _{p},1)$.
• У тривимірному випадку лінзовий простір збігається з многовидом, що має діаграму Хегора роду 1, і тому він є многовидом Зейферта.

Посилання

• Лінзові простори в Атласі многовидів {{ref-en}
• Лінзові простори: історія в Атласі многовидів {{ref-en}
• Несправжні лінзові простори в Атласі многовидів {{ref-en}