Графік функції

Графік кубічного полінома

Графік функції — діаграма в математиці, яка дає уявлення про геометричний образ функції.

Графіком функції $\ f\colon X\to Y$ називається підмножина декартового добутку $\ X$ на $\ Y$ ($G\subset X\times Y$), що містить всі пари $(x,y)$, для яких $f(x)=y$.

Якщо простіше, то це є малюнок, на якому можна побачити як змінюється значення Y залежно від значення Х. Як правило, значення X позначають на горизонтальній прямій, яку називають віссю абсцис (x), а значення Y на перпендикулярній до неї прямій, яку називають віссю ординат (y). Ці осі разом утворюють систему координат. Кожна вісь має напрямок, у якому значення відповідної координати зростає. У точці найбільшого значення малюють стрілку, яка вказує цей напрям. На кожній осі роблять позначки окремих (ключових) значень і підписують їх цими значеннями. Це допомагає приблизно визначити інші проміжні значення. Точка з координатами $(0,0)$ називається початком координат.

Графіки елементарних функцій

1. Пряма пропорційність $y=kx$
2. Лінійна функція $y=kx+b$
3. Обернена пропорційність $y={\frac {k}{x}}$
4. Квадратична функція $y=x^{2}$, $y=ax^{2}+bx+c$

Побудова графіка функції

Побудова графіка функції, що базується на аналітичному дослідженні функції.

Алгоритм дослідження функції:

1. з'ясування області визначення функції;
2. вирішується питання про парності або непарності функції;
3. досліджується періодичність функції;
4. знаходять точки перетину кривої з осями координат;
5. знаходять точки розриву функції і визначають їх характер (такими точками є краї інтервалів визначення функції);
6. проводять дослідження на екстремум, знаходять екстремальні значення функції;
7. шукаються точки перегину та інтервали опуклості та угнутості кривій;
8. відшукання асимптоти кривої;
9. отримані результати наносять на креслення і отримують графік досліджуваної функції.

Графік функції будують за характерними точками й лініями, отриманими у результаті дослідження. Якщо їх недостатньо, знаходять допоміжні точки для деяких конкретних значень аргументу.

Приклад побудови графіка функції

Провести дослідження функції  $y={\frac {x^{3}}{3-x^{2}}}$ та побудувати її графік.

1) Функція визначена всюди, крім точок $x={\sqrt {3}}$ та $x=-{\sqrt {3}}$.

2) Функція непарна, тому що виконується умова $f(-x)=f(x)$, а саме, $y(-x)={\frac {(-x)^{3}}{3-(-x)^{2}}}=-{\frac {x^{3}}{3-x^{2}}}$ , і, отже, її графік симетричний відносно початку координат. Тому обмежимося дослідженням тільки для $0\leqslant x\leqslant +\infty$.

3) Функція не періодична.

4) Так як y = 0 лише при x = 0, то перетин з осями координат відбувається тільки на початку координат.

5) Функція має розрив другого роду в точці $x={\sqrt {3}}$ , причому $\lim _{x\to {\sqrt {3}}-0}={\frac {x^{3}}{3-x^{2}}}=+\infty$ , $\lim _{x\to {\sqrt {3}}+0}={\frac {x^{3}}{3-x^{2}}}=-\infty$. Пряма $x={\sqrt {3}}$ — вертикальна асимптота.

6) Знаходимо $y'={\frac {9x^{2}-x^{4}}{(3-x^{2})^{2}}}$ і прирівнюємо її до нуля:${\frac {3x^{2}(3-x)(3+x)}{(3-x^{2})^{2}}}$ , звідки $x_{1}=-3$, $x_{2}=0$_, $x_{3}=3$. На екстремум треба досліджувати тільки точку $x_{3}=3$ (точку $x_{2}=0$ не досліджуємо, тому що вона є граничною точкою проміжку $[0;+\infty )$.

В околі точки $x_{3}=3$ має: $y'>0$ при $x<3$ та $y'<0$ при $x<3$ , отже, в точці $x_{3}$ функція має максимум, $y_{max}(3)=-{\frac {9}{2}}$.

Для перевірки правильності знаходження мінімального та максимального значення.

7) Знаходимо $y''={\frac {6x(9+x^{2})}{(3-x^{2})^{3}}}$. Бачимо, що $y''=0$ лише при $x=0$, при цьому $y''<0$ при $x<0$ та $y''>0$ при $x>0$, отже, в точці (0,0) крива має перегин. Іноді напрямок угнутості може змінитися при переході через розрив кривої, тому слід з'ясувати знак $y''$ і близько точок розриву функції. У даному випадку $y''>0$ на проміжку $(0;{\sqrt {3}})$ i $y''<0$ на $({\sqrt {3}};+\infty )$, отже, на $(0;{\sqrt {3}})$ крива ввігнута і опукла на $({\sqrt {3}};+\infty )$.

8) Знаходимо асимптоти.

Наявність вертикальної асимптоти $x={\sqrt {3}}$ встановлено вище. Шукаємо горизонтальні: $\lim _{x\to \infty }={\frac {x^{3}}{3-x^{2}}}=\infty$, отже, горизонтальних асимптот немає.

Знайдемо похилі асимптоти:

$k=\lim _{x\to \infty }={\frac {x^{3}}{x(3-x^{2})}}=-1$, $b=\lim _{x\to \infty }({\frac {x^{3}}{3-x^{2}}}+x)=\lim _{x\to \infty }{\frac {3x}{3-x^{2}}}=0$, виходячи з цього, $y=-x$ — нахилена двобічна асимптота.

9) Тепер, використовуючи отримані дані, будуємо креслення.

Див. також

• Наукова візуалізація
• Парна функція
• Непарна функція
• Перетворення графіків функцій

Посилання

• Побудова графіків функцій // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 190. — 594 с.
• Загальний план дослідження функції та побудова її графіків // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 324. — 594 с.
• Weisstein, Eric W. «Function Graph.» From MathWorld—A Wolfram Web Resource.
• Динамічні математичні моделі^{[недоступне посилання з липня 2019]}