Вихованець клубу «Ньюеллс Олд Бойз». 28 червня 2017 року в матчі проти «Годой-Круса» він дебютував в аргентинській Прімері[3], втім цей матч так і залишився єдиним для гравця у рідній команді. У серпні того ж року для отримання ігрової практики Мартінес був відданий в оренду в клуб «Дефенса і Хустісія» і 14 жовтня в матчі проти «Сан-Лоренсо» він дебютував за новий клуб[4]. 5 листопада в поєдинку проти «Темперлея» Лісандро забив свій перший гол за «Дефенсу»[5]. Влітку 2018 року клуб викупив контракт Мартінеса і підписав з ним угоду терміном на три сезони[6], але провів в команді ще лиш один сезон.
20 травня 2019 року Лісандро підписав чотирирічний контракт з амстердамським «Аяксом»[7]. Дебютував за нову команду у матчі за Суперкубок Нідерландів 2019 року проти ПСВ (2:0), здобувши таким чином перший трофей. Згодом у 2021 році він виграв з командою «золотий дубль».