L-функція Діріхле

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

L-функція Діріхле комплекснозначна функція, задана для (для у випадку головного характера) формулою

,

де — деякий характер Діріхле (по модулю k). -функції Діріхле були введені для доведення теореми Діріхле про прості числа в арифметичних прогресіях, де, зокрема використовується нерівність для усіх неголовних характерів.

Для неголовних характерів існує аналітичне продовження до цілої функції. Для головного характера за модулем k існує аналітичне продовження до мероморфної функції, що має простий полюс із лишком , де функція Ейлера.

Добуток Ейлера для L-функцій Діріхле[ред. | ред. код]

Зважаючи на мультиплікативність характера Діріхле для -функції Діріхле в області виконується розклад у добуток по простих числах]:

.

Ця формула відіграє важливу роль у застосуваннях -функцій в теорії простих чисел.

Функційне рівняння[ред. | ред. код]

Нехай χ — примітивний характер модуля k. Позначимо

де Γ — Гамма-функція, а символ a заданий як

.

Тоді виконується функційне рівняння

Тут τ(χ) позначає суми Гауса

Зауважимо, що |τ(χ)| = k1/2.

Зв'язок з дзета-функцією Рімана[ред. | ред. код]

-функція Діріхле, для головного характера по модулю k, пов'язана з дзета-функцією Рімана формулою

.

Ця формула дозволяє довизначити для області з простим полюсом в точці .

Зв'язок з дзета-функцією Гурвіца[ред. | ред. код]

L-можуть бути подані як лінійні комбінації дзета функцій Гурвіца у раціональних точках. Для цілого числа k ≥ 1, L-функції для характерів по модулю k є лінійними комбінаціями, зі сталими коефіцієнтами, функцій ζ(s,q) де q = m/k і m = 1, 2, ..., k. Тому дзета-функція Гурвіца для раціональних q має властивості близькі до L-функцій. Конкретно, якщо χ — характер Діріхле по модулю k то його L-функція Діріхле є рівною

Зокрема для головного характера одержується рівність для дзета функції Рімана:

Корені L-функцій Діріхле[ред. | ред. код]

Якщо χ — примітивний характер Діріхле і χ(−1) = 1, тоді єдиними коренями функції L(s,χ) для яких Re(s) < 0 є від'ємні парні цілі числа. Якщо χ — примітивний характер Діріхле і χ(−1) = −1, тоді єдиними коренями функції L(s,χ) для яких Re(s) < 0 є від'ємні непарні цілі числа.

Для загального характера існує примітивний характер , що породжує . Тоді виконується рівність . Тому парні і непарні від'ємні цілі числа теж будуть коренями залежно від знаку . Але додатково коренями з Re(s) < 0 будуть точки в яких добуток позначений знаком добутку у формулі є рівним нулю.

Всі ці корені називаються тривіальними коренями L-функції Діріхле. Всі інші корені називаються нетривіальними. Відомо, що для , тому всі нетривіальні корені L-функції знаходяться у полосі . Вивчення розподілу нетривіальних нулів є важливою проблемою теорії чисел.

Кожна L-функція Діріхле має нескінченну кількість нетривіальних нулів. Згідно узагальненої гіпотези Рімана усі вони лежать на прямій .

Існує константа , така що для всіх комплексних характерів модуля k якщо , то

[1].

Для дійсних характерів у цьому випадку відомо, що у області заданій цією нерівністю може бути щонайбільше 1 корінь, який може бути лише дійсним числом.

Інші обмеження можна ввести для L-функцій по заданому модулю. Якщо для характера по модулю k то

,

де — константа, що залежить від .


Примітки[ред. | ред. код]

  1. Montgomery, Hugh L. (1994). Ten lectures on the interface between analytic number theory and harmonic analysis. Regional Conference Series in Mathematics 84. Providence, RI: American Mathematical Society. с. 163. ISBN 0-8218-0737-4. Zbl 0814.11001. 

Див. також[ред. | ред. код]

Література[ред. | ред. код]

  • Галочкин А. И., Нестеренко Ю. В., Шидловский А. Б. Введение в теорию чисел. — Москва : Изд-во Московского университета, 1984.
  • Карацуба А. А. Основы аналитической теории чисел. — Москва : УРСС, 2004.
  • Чудаков Н. Г. Введение в теорию L-функций Дирихле. — Москва: ОГИЗ, 1947.