Ряд Діріхле

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Рядом Діріхле називається ряд виду

де s і anкомплексні числа, n = 1, 2, 3, … .

Абсцисою збіжності ряду Діріхле називається таке число , що при він збігається; абсцисою абсолютної збіжності називається таке число , що при ряд абсолютно збіжним. Для будь-якого ряду Діріхле справедливе співвідношення (якщо і скінченні).

Цей ряд відіграє значну роль в теорії чисел. Найпоширенішим прикладом ряду Діріхле є дзета-функція Рімана, а також L-функція Діріхле. Ряд названий в честь Густава Діріхле.

Приклади[ред.ред. код]

Де ζ(s)дзета-функція Рімана.

де μ(n)функція Мебіуса.

де L(χ,s)L-функція Діріхле.

Похідні[ред.ред. код]

Нехай

Тоді можна довести

у випадку збіжності правої сторони. Для цілком мультиплікативної функції ƒ(n), у випадку збіжності для Re(s) > σ0, тоді

збігається для Re(s) > σ0. В даній формулі, позначає функцію фон Мангольдта.

Добуток рядів[ред.ред. код]

Нехай маємо ряди

і

Якщо F(s) і G(s) є абсолютно збіжними для s > a і s > b відповідно, тоді:

Якщо a = b і ƒ(n) = g(n) то

Література[ред.ред. код]

  • Мандельбройт С. Ряды Дирихле, — М.: Мир, 1973
  • Tom M. Apostol (1989), Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-97127-8