Інтерполяційна формула Брамагупти
Інтерполяці́йна фо́рмула Брамагу́пти (англ. Brahmagupata's interpolation formula) — інтерполяційна формула другого поліноміального порядку, уперше записана індійським математиком і астрономом Брамагуптою на початку VII століття.
Історична довідка[ред. | ред. код]
Віршований опис цієї формули на санскриті міститься у додатковій частині «Кхандакхадьяки» — праці, завершеної Брамагуптою у 665 році[1]. Такий же куплет є й у більш ранній праці «Дхьяна-граха-адхикара», точна дата створення якої не встановлена. Однак внутрішній взаємозв'язок робіт дозволяє припустити, що вона була створена раніше від завершеної у 628 році основної праці вченого — «Брахма-спхута-сіддханта[en]», тому час створення інтерполяційної формули другого порядку може бути віднесений до першої чверті VII століття[1]. Брамагупта був першим в історії математики, хто записав і використовував формулу в скінченних різницях другого порядку[2][3].
Формула Брамагупти збігається з інтерполяційною формулою другого порядку Ньютона, котра була записана (повторно виведена) через понад тисячу років.
Задача[ред. | ред. код]
Будучи астрономом, Брамагупта був зацікавлений в отриманні точних значень синуса на основі невеликої кількості відомих табульованих значень цієї функції. Отже, перед ним стояла задача знайти величину , за наявними у таблиці значеннями функції:
… | … | |||||||
… | … |
За умови, що значення функції обчислені у точках з однаковим кроком , ( для усіх ), Аріабхата запропонував використовувати для розрахунків (табличні) перші скінченні різниці:
Математики до Брамагупти використовували очевидну формулу лінійної інтерполяції
- ,
де .
Брамагупта замінив у цій формулі функцією другого порядку від скінченних різниць, що дозволило отримувати точніші значення інтерпольованої функції.
Алгоритм обчислень Брамагупти[ред. | ред. код]
У термінології Брамагупти різниця називається минулий відрізок (गत काण्ड), називається корисний відрізок (भोग्य काण्ड). Довжина відрізка до точки інтерполювання в мінутах називається обрубком (विकल). Новий вираз, що має замінити називається правильним корисним відрізком (स्फुट भोग्य काण्ड). Обчислення правильного корисного відрізка описане у куплеті[4][1]:
Згідно з коментарем Бхуттопали (X століття) вірші перекладаються так[1][5]:
- Помнож обрубок на піврізницю корисного і минулого відрізків та поділи результат на 900. Додай результат до півсуми корисного й минулого відрізків, якщо ця півсума є меншою за корисний відрізок. Якщо є більшою, то відніми. Отримаєш правильну корисну різницю[6].
900 мінут (15 градусів) — це інтервал між аргументами табличних значень синуса, якими користувався Брамагупта.
Формула Брамагупти у сучасних позначеннях[ред. | ред. код]
У сучасних позначеннях алгоритм обчислень Брамагупти виражається формулами:
Це інтерполяційна формула Ньютона другого порядку[7][8].
Доведення[ред. | ред. код]
Невідомо як Брамагупта отримав цю формулу[1]. В наш час такі формули отримують розкладанням функцій у ряд Тейлора. Однак довести формулу можна й елементарними методами: після заміни формула Брамагупти задає параболу, що проходить через три точки . Для виведення цієї формули достатньо знайти коефіцієнти рівняння цієї параболи за допомогою вирішення системи трьох лінійних рівнянь, що визначаються цими точками.
Точність формули[ред. | ред. код]
Комп'ютерний розрахунок показує, що на основі таблиці із 7-ми значеннями синуса у вузлах з кроком у 15°, Брамагупта міг обчислювати цю функцію с максимальною похибкою не більшою від 0,0012 і середньою похибкою, що не перевищує 0,00042.
Див. також[ред. | ред. код]
Примітки[ред. | ред. код]
- ↑ а б в г д Gupta, R. C. Second-order interpolation in Indian mathematics upto the fifteenth century. Indian Journal of History of Science. 4 (1 & 2): 86—98.
- ↑ Van Brummelen, Glen (2009). The mathematics of the heavens and the earth: the early history of trigonometry. Princeton University Press. с. 329. ISBN 9780691129730. (p.111)
- ↑ Meijering, Erik (March 2002). A Chronology of Interpolation From Ancient Astronomy to Modern Signal and Image Processing. Proceedings of the IEEE. 90 (3): 319—342. doi:10.1109/5.993400.
{{cite journal}}
:|access-date=
вимагає|url=
(довідка) - ↑ Dhyana-Graha-Upadesa-Adhyaya, 17; Khandaka Khadyaka, IX, 8
- ↑ Raju, C K (2007). Cultural foundations of mathematics: the nature of mathematical proof and the transmission of the calculus from India to Europe in the 16th c. CE. Pearson Education India. с. 138–140. ISBN 9788131708712.
- ↑ Завершальна частина алгоритму пов'язана з тим, що математики до Брамагупти і тривалий час після нього не користувались поняттям від'ємного числа. Тому реально обчислювалась не різниця, а модуль різниці , а потім це додатне число додавалось або віднімалось, залежно від знаку, що визначався за допомогою нерівності.
- ↑ Milne-Thomson, Louis Melville (2000). The Calculus of Finite Differences. AMS Chelsea Publishing. с. 67—68. ISBN 9780821821077.
- ↑ Hildebrand, Francis Begnaud (1987). Introduction to numerical analysis. Courier Dover Publications. с. 138–139. ISBN 9780486653631.