Альтернативна алгебра
Альтернати́вна а́лгебра — алгебра в якій операція множення може бути не асоціативною, проте вимагається дещо слабша умова альтернативності:
для всіх х і у в алгебрі. Кожна асоціативна алгебра, очевидно, альтернативна, проте існують і неасоціативні альтернативні алгебри, прикладом яких є октоніони. Седеніони, є прикладом алгебри в якій не виконується умова альтернативності.
Абсолютно ідентично визначається поняття альтернативного кільця (і, відповідно, тіла і поля).
З використанням асоціатора
![{\displaystyle [x,y,z]=(xy)z-x(yz)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63984e320b542228554cc8a7d845c050526d9772)
тотожності, що визначають альтернативну алгебру приймуть вигляд
![{\displaystyle [x,x,y]=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06e8bfb6af1e0bbe20fb40b5d6be54e1af66f80f)
![{\displaystyle [y,x,x]=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e7d6928a4b439c46950573c13d4d37018ba56cf)
для будь-яких елементів і Звідси, через полілінійність асоціатора, нескладно одержати, що
![{\displaystyle [x,y,z]+[y,x,z]=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/400f499a9ab4f1e07d320e886e603bedbafb7bae)
![{\displaystyle [x,y,z]+[x,z,y]=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d69eab535ed7232eff8d7e3421be9057a4f17ce9)
Таким чином, в альтернативній алгебрі асоціатор є альтернативною операцією:
![{\displaystyle [x,y,z]=\mathrm {sgn} \,\sigma [\sigma (x),\sigma (y),\sigma (z)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0099d89046d5801047a1a8186681d752286a2087)
де — перестановка елементів — парність цієї перестановки. Вірним є і обернене твердження: якщо асоціатор альтернативний, то кільце альтернативно. Саме через зв'язок з альтернативністю асоціатора альтернативні кільця одержали таку назву.
Аналогічно можна показати, що для альтернативності асоціатора досить виконання будь-яких двох з наступної тотожності:
звідки відразу слідує третя тотожність.
- Теорема Артіна твердить, що підалгебра породжена довільними двома елементами альтернативної алгебри є асоціативною. Вірним є і обернене твердження. Також якщо три елементи альтернативної алгебри є асоціативними (тобто ) то алгебра породжена цими елементами є асоціативною.
![{\displaystyle [x,y,z]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95cef9c8a4542f9ded3ac917172894e992a8f533)
- Тотожності Муфанг:
- виконуються в довільній альтернативній алгебрі.
- Також виконуються тотожності:
- де [x, y] (два аргументи) позначає комутатор елементів x і y : [x, y] = xy -yx.
![{\displaystyle [xy,z,t]-y[x,z,t]-[y,z,t]x=[[x,y],z,t]+[x,y,[z,t]]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5aa714d6a14a7f20eb13eadbb5a51d26c682edc0)
![{\displaystyle [[x,y]^{4},z,t]=[x,y][[x,y]^{2},z,t]=[[x,y]^{2},z,t][x,y]=0.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4df573b12b2a695678dc8571e6f0fc11641cb6b9)
- В альтернативній алгебрі з одиницею, мультиплікативні обернені елементи, якщо вони існують, єдині. Для довільного оборотного елемента і будь-якого виконується рівність:
- Еквівалентно для всіх таких і асоціатор рівний нулю. Якщо і — оборотні то теж є оборотним і . Тому множина оборотних елементів є замкнутою щодо множення і утворює лупу Муфанг.
![{\displaystyle [x^{-1},x,y]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b240bc5bf9c148e84b2502f1442c3931f5654e4)
- Багато властивостей альтернативного кільця (алгебри) відрізняються від властивостей асоціативного кільця (алгебри) в аналогічних ситуаціях. Так, якщо R є альтернативним кільцем (алгеброю), а A і B — його праві ідеали, то їх добуток AB може не бути правим ідеалом, навіть якщо А — двосторонній ідеал в R; але добуток двосторонніх ідеалів альтернативного кільця (алгебри) є його двостороннім ідеалом.
- Жевлаков К. А., Слинько А. М., Шестаков И. П., Ширшов А. И. Кольца, близкие к ассоциативным, — М.: Наука, 1978, 433 стр.
- Schafer, Richard D. (1995). An Introduction to Nonassociative Algebras. New York: Dover Publications. ISBN 0-486-68813-5.