Альтернативна алгебра

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Альтернати́вна а́лгебра — алгебра в якій операція множення може бути не асоціативною, проте вимагається дещо слабша умова альтернативності:

x(xy) = (xx)y\,
(yx)x = y(xx)\,

для всіх х і у в алгебрі. Кожна асоціативна алгебра, очевидно, альтернативна, проте існують і неасоціативні альтернативні алгебри, прикладом яких є октоніони. Седеніони, є прикладом алгебри в якій не виконується умова альтернативності.

Абсолютно ідентично визначається поняття альтернативного кільця (і, відповідно, тіла і поля).

Асоціатор[ред.ред. код]

З використанням асоціатора

[x,y,z] = (xy)z - x(yz)\,

тотожності, що визначають альтернативну алгебру приймуть вигляд

[x,x,y] = 0\,
[y,x,x] = 0\,

для будь-яких елементів x і y. Звідси, через полілінійність асоціатора, нескладно одержати, що

[x,y,z] + [y,x,z] = 0\,
[x,y,z] + [x,z,y] = 0\,

Таким чином, в альтернативній алгебрі асоціатор є альтернативною операцією:

[x,y,z] = \mathrm{sgn}\,\sigma [\sigma(x),\sigma(y),\sigma(z)]

де \sigmaперестановка елементів x,y,z, \mathrm{sgn}\,\sigma — парність цієї перестановки. Вірним є і обернене твердження: якщо асоціатор альтернативний, то кільце альтернативно. Саме через зв'язок з альтернативністю асоціатора альтернативні кільця одержали таку назву.

Аналогічно можна показати, що для альтернативності асоціатора досить виконання будь-яких двох з наступної тотожності:

x(xy) = (xx)y\,
(yx)x = y(xx)\,
(xy)x = x(yx)\,

звідки відразу слідує третя тотожність.

Властивості[ред.ред. код]

  • Теорема Артіна твердить, що підалгебра породжена довільними двома елементами альтернативної алгебри є асоціативною. Вірним є і обернене твердження. Також якщо три елементи x,y,z альтернативної алгебри є асоціативними (тобто [x,y,z] = 0) то алгебра породжена цими елементами є асоціативною.
  • Тотожності Муфанг:
  • a(x(ay)) = (axa)y\,
  • ((xa)y)a = x(aya)\,
  • (ax)(ya) = a(xy)a\,
виконуються в довільній альтернативній алгебрі.
  • Також виконуються тотожності:
  • [xy, z, t] - y[x, z, t] - [y, z, t]x = [[x,y], z, t] + [x, y, [z, t]]\,
  • [[x, y]^4, z, t] = [x, y][[x, y]^2, z, t] = [[x, y]^2, z, t][x, y] = 0.\,
де [x, y] (два аргументи) позначає комутатор елементів x і y : [x, y] = xy -yx.
y = x^{-1}(xy).\,
Еквівалентно для всіх таких x і y асоціатор [x^{-1},x,y] рівний нулю. Якщо x і y — оборотні то xy теж є оборотним і (xy)^{-1} = y^{-1}x^{-1}. Тому множина оборотних елементів є замкнутою щодо множення і утворює лупу Муфанг.
  • Багато властивостей альтернативного кільця (алгебри) відрізняються від властивостей асоціативного кільця (алгебри) в аналогічних ситуаціях. Так, якщо R є альтернативним кільцем (алгеброю), а A і B — його праві ідеали, то їх добуток AB може не бути правим ідеалом, навіть якщо А — двосторонній ідеал в R; але добуток двосторонніх ідеалів альтернативного кільця (алгебри) є його двостороннім ідеалом.

Література[ред.ред. код]

  • Жевлаков К. А., Слинько А. М., Шестаков И. П., Ширшов А. И. Кольца, близкие к ассоциативным, — М.: Наука, 1978, 433 стр.
  • Schafer, Richard D. (1995). An Introduction to Nonassociative Algebras. New York: Dover Publications. ISBN 0-486-68813-5.