Групоїд (теорія категорій)

У теорії категорій групо́їд — це категорія, у якій усі морфізми є ізоморфізмами.

Групоїди можна розглядати як узагальнення груп. А саме, категорія, відповідна групі $G$, має рівно один об'єкт і по одній стрілці для кожного елементу $g$ з $G$. Композиція стрілок задається як множення відповідних елементів у групі. Видно, що при цьому кожна стрілка є ізоморфізмом. Таким чином множину стрілок групоїда можна розглядати як деяку множину з частково визначеною бінарною операцією множення таку, що для кожного елементу існує лівий і правий зворотній, а також ліва і права одиниця за множенням.

Групоїди природно заміняють у теорії категорій групи симетрій і виникають при класифікації класів ізоморфних об'єктів.

Приклади

• Будь-яка категорія, що є групою, є групоїдом.

• Нехай $C$ — довільна категорія, а $D\hookrightarrow C$ — підкатегорія, об'єкти якої збігаються с об'єктами $C$, а морфізмами є усі можливі ізоморфізми у $C$. Тоді $D$ — групоїд.

• Нехай $X$ — лінійно зв'язний топологічний простір. Тоді його фундаментальний Групоїд $\Pi _{1}(X)$ — це 2-категорія, об'єктами якої є усі точки з $X$, а стрілки з $x\in X$ у $y\in X$ відповідають усім можливим (геометричним) шляхам з $x$ у $y$:

$f\colon [0;1]\to X,~f(0)=x,\;f(1)=y$

Дві функції $f$ та $g$ задають один і той же шлях якщо існує $s:[0;1]\to [0;1]$ так, що $f=g\circ s$ або $g=f\circ s$. Композиція стрілок задається композицією шляхів:

$fg(t)={\begin{cases}f(2t),\;0\leqslant t\leqslant 1/2\\g(2t-1),\;1/2\leqslant t\leqslant 1\end{cases}}$

2-морфізм з $f$ у $g$ — це гомотопія з $f$ у $g$. Фундаментальний групоїд є категоріфікацією фундаментальної групи. Його перевага у тому, що у просторі не потрібно обирати відмічену точку, так що не виникають проблеми з неканонічністю ізоморфізму фундаментальних груп у різних точках або з просторами, які мають декілька компонент зв'язності. Фундаментальна група петель з точки $x\in X$ виникає як група 2-ізоморфних автоморфізмів об'єкта $x\in \Pi _{1}(X)$.

• Категорія векторних розшарувань рангу $n$ над стягуваним простором з невиродженими відображеннями природно утворює групоїд. Це твердження лежить в основі введення поняття джерба (котрий є частковим випадком стека), що являє собою собою структуру на категорії пучків заданого типу. Джерби є геометричними об'єктами, що класифікуються групами когомологій $H^{2}(X,{\mathcal {G}})$, де ${\mathcal {G}}$ — пучок Груп на $X$. Поняття особливо важливе у випадку неабелевих груп ${\mathcal {G}}$.

Див. також

• Групоїд (алгебра)