Гіперцикл (геометрія)

Диск Пуанкаре з гіперциклом HC для прямої L (вона пряма, оскільки перетинає горизонт під прямими кутами), який проходить через точку P

Гіперколо, гіперцикл або еквідистанта — це крива, точки якої мають сталу ортогональну відстань до прямої (яка називається віссю гіперкола).

Якщо дано пряму L і точку P, яка не лежить на L, можна побудувати гіперцикл, узявши всі точки Q, що лежать з того ж боку від L, що й P, і на такій самій відстані від L, що й P.

Пряма L називається віссю, центром або базовою прямою гіперциклу.

Прямі, перпендикулярні до осі, які перпендикулярні і до гіперциклу, називаються нормалями гіперциклу.

Відрізки нормалі між віссю і гіперциклом називаються радіусами.

Загальна довжина цих відрізків називається відстанню або радіусом гіперциклу.

Гіперцикли через задану точку, що мають одну і ту ж дотичну в цій точці, сходяться до орициклу в міру прямування відстані до нескінченності.

Властивості, подібні до властивостей евклідових прямих

Гіперцикли у гіперболічній геометрії мають деякі властивості, схожі на властивості прямих в евклідовій геометрії:

• На площині, якщо задано пряму і точку поза нею, існує тільки один гіперцикл для даної прямої, що містить цю точку (порівняйте з аксіомою Плейфера для евклідової геометрії).
• Ніякі три точки гіперциклу не лежать на одній прямій.
• Гіперцикл симетричний відносно будь-якої прямої, перпендикулярної до нього (відбиття гіперциклу відносно прямої, перпендикулярної до гіперциклу, дає той же самий гіперцикл).

Властивості, подібні до властивостей евклідових кіл

Гіперцикли у гіперболічній геометрії мають деякі властивості, подібні до властивостей кола в евклідовій геометрії:

• Пряма, перпендикулярна до хорди гіперциклу в її середині, є радіусом і ділить стягувану дугу навпіл.

  Нехай AB — хорда і M — її середина.

  З огляду на симетрію, пряма R через M, перпендикулярна до хорди AB, має бути ортогональною до осі L.

  Таким чином, R є радіусом.

  Також з міркувань симетрії, R ділить дугу AB навпіл.

• Вісь і відстань гіперциклу визначені однозначно.

  Припустимо, що гіперцикл C має дві різні осі $L_{1}$ і $L_{2}$.

  Скориставшись попередньою властивістю двічі з різними хордами, можна визначити два різних радіуси $R_{1}$ і $R_{2}$. $R_{1}$ і $R_{2}$ будуть тоді перпендикулярні як до $L_{1}$, так і до $L_{2}$, що дає прямокутник. Отримали суперечність, оскільки у гіперболічній геометрії прямокутник неможливий.

• Гіперцикли мають однакові відстані тоді й лише тоді, коли вони конгруентні.

  Якщо вони мають однакові відстані, потрібно звести осі до збігу жорстким рухом, а тоді всі радіуси збіжаться. Оскільки радіус той самий, точки двох гіперциклів сумістяться.

  Навпаки, якщо вони конгруентні, відстань має бути тако ж, згідно з попередньою властивістю.

• Прямі перетинають гіперцикл не більше ніж у двох точках.

  Нехай пряма K перетинає гіперцикл C у двох точках A і B. Як і раніше, ми можемо побудувати радіус R гіперциклу C через середню точку M хорди AB. Зауважимо, що пряма K ультрапаралельна до осі L, оскільки вони мають спільний перпендикуляр R. Також, дві ультрапаралельні прямі мають найменшу відстань на загальному перпендикулярі і відстань монотонно зростає в міру відхиляння від перпендикуляра.

  Це означає, що точки K всередині AB міститимуться на відстані від L меншій, ніж відстань від A і B до L, тоді як точки K поза відрізком AB будуть мати більшу відстань. У підсумку, жодних інших точок K немає на C.

• Два гіперцикли перетинаються максимум у двох точках.

  Нехай $C_{1}$ і $C_{2}$ — гіперцикли, що перетинаються в точках A, B і C.

  Якщо $R_{1}$ — пряма, ортогональна AB і проходить через середню точку, ми знаємо, що це радіус як для $C_{1}$, так і для $C_{2}$.

  Аналогічно будуємо радіус $R_{2}$ через середню точку відрізка BC.

  $R_{1}$ і $R_{2}$ одночасно ортогональні до осей $L_{1}$ і $L_{2}$ гіперциклів $C_{1}$ і $C_{2}$ відповідно.

  Ми вже довели, що в цьому випадку $L_{1}$ і $L_{2}$ мають збігатися (інакше отримаємо прямокутник).

  Тоді $C_{1}$ і $C_{2}$ мають ті самі осі і принаймні одну спільну точку, а тому вони мають ту саму відстань і теж збігаються.

• Ніякі три точки гіперциклу не лежать на одній прямій.

  Якщо точки A, B і C гіперциклу лежать на одній прямій, то хорди AB і BC належать одній і тій самій прямій K. Нехай $R_{1}$ і $R_{2}$ є радіусами, що проходять через середні точки хорд AB і BC. Ми знаємо, що вісь L гіперциклу перпендикулярна як до $R_{1}$, так і до $R_{2}$.

  Але K також перпендикулярна до них. Тоді відстань має дорівнювати 0, і гіперцикл вироджується в пряму.

Інші властивості

Тричотирикутна мозаїка на конформно-евклідовій моделі має послідовність вершин, що лежать на гіперциклах.

• Довжина дуги гіперциклу між двома точками
  • більша від довжини відрізка між цими двома точками,
  • менша від довжини дуги одного з двох орициклів між цими двома точками
  • менша від довжини будь-якої дуги кола між цими двома точками.
• Гіперцикл і орицикл перетинаються максимум у двох точках.

Довжина дуги

На гіперболічній площині з постійною кривиною $-1$ довжину дуги гіперциклу можна обчислити за радіусом $r$ і відстанню $d$ між точками, в яких нормалі перетинають вісь, за допомогою формули:

$l=d\cdot \mathrm {ch} \,r$

Побудова

Для гіперболічної площини в моделі Пуанкаре у диску гіперцикли відповідають прямим і дугами кола, які перетинають граничне коло під будь-яким кутом відмінним від прямого. Відповідно, вісь гіперциклу, оскільки — це геодезичні, які в моделі представлені відрізками та дугами перпендикулярними граничному колу, буде перетинати граничне коло в тих самих точках, що і гіперцикл, але під прямим кутом.

Відповідно в іншій конформній моделі — моделі Пуанкаре у верхній півплощині гіперцикли представляються прямими та дугами кола, що перетинають граничну пряму під будь-яким кутом відмінним від прямого. Вісь гіперциклу — це геодезична, що перетинає граничну пряму в тих самих точках, але під прямим кутом.

Література

• Martin Gardner. Chapter 4 of The Colossal Book of Mathematics // Non-Euclidean Geometry. — W. W. Norton & Company, 2001. — ISBN 978-0-393-02023-6.
• Greenberg M. J. Euclidean and Non-Euclidean Geometries: Development and History. — 3rd edition. — Freeman W. H, 1994.
• David C. Royster. Neutral and Non-Euclidean Geometries.
• Смогоржевский А. С. О геометрии Лобачевского. — Москва : Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1982. — Т. 23. — (Популярные лекции по математике)
• George E. Martin. The foundations of geometry and the non-euclidean plane. — 1., corr. Springer. — New York : Springer-Verlag, 1986. — С. 371. — ISBN 3-540-90694-0.