Довжина модуля

В абстрактній алгебрі довжина модуля — числова характеристика модуля, що деякою мірою узагальнює поняття розмірності векторного простору.

Визначення

Нехай $M$ — модуль над кільцем $R$. Довжина $M$ визначається як супремум чисел $n$ для яких існує послідовність підмодулів:

$0=N_{0}\subsetneq N_{1}\subsetneq N_{2}\subsetneq \ldots \subsetneq N_{n}=M.$

Довжина позначається $\ell _{R}(M)$ або $\ell (M)$.

Властивості

• Довжина нульового модуля рівна 0. Довжина інших модулів є додатнім цілим числом.
• Єдиними модулями довжина яких рівна 1 є прості модулі. В іншому випадку існує послідовність $0\subsetneq N\subsetneq M$ і довжина модуля не менша 2.
• Модуль $M$ має скінченну довжину якщо і тільки якщо він є модулем Нетер і модулем Артіна.
• Нехай маємо коротку точну послідовність:

$0\to M'\to M\to M''\to 0$

тоді $\ell (M)=\ell (M')+\ell (M'')$.

• З попереднього випливає, що якщо N — підмодуль M то

$\ell (M)=\ell (N)+\ell (M/N)$.

Також звідси випливає формула:

$\ell (N+P)+\ell (N\cap P)=\ell (N)+\ell (P)$

Приклади

• Для скінченновимірних векторних просторів поняття розмірності і довжини є еквівалентними: $\dim E=\ell (E)$.
• Кільце $\mathbb {Z}$, що розглядається як модуль над самим собою, має нескінченну довжину, що демонструє наступна послідовність визначена для довільного натурального числа n :

$2^{n}\mathbb {Z} \subsetneq 2^{n-1}\mathbb {Z} \subsetneq \cdots \subsetneq 2\mathbb {Z} \subsetneq \mathbb {Z}$

• Циклічна група $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$, як $\mathbb {Z}$-модуль має довжину, що рівна кількості простих дільників n з урахуванням їх кратності.

Література

• Шафаревич И.Р. Основные понятия алгебры.-Ижевск, 1999, 348с.