Квадратури Гауса

В обчислювальній математиці, квадратурні формули використовують для апроксимації визначеного інтеграла заданої функції. Зазвичай являють собою скінченну суму зважених значень функції в певних точках (вузлах) з області інтегрування. (більше про квадратурні формули див. чисельне інтегрування) n-точковою квадратурою Гаусса, або квадратурною формулою Гаусса (на честь Карла Гаусса), називається формула

$\int _{a}^{b}w(x)f(x)\,dx\approx \sum _{i=1}^{n}w_{i}f(x_{i}).$

що обчислює точне значення інтегралів для поліномів порядку не вище 2n − 1 з відповідним вибором вузлів x_i і ваг w_i при i = 1, …, n.

Для знаходження вузлів і ваг квадратури використовують ортогональні поліноми на інтервалі інтегрування. Вибираючи різні поліноми для різних ваг отримують різні набори вузлів і вагових коефіцієнтів. Для найпоширеніших систем зазвичай виведені аналітичні формули, тому, щоб обчислити інтеграл на довільному проміжку, можна зробити заміну змінних, і використовувати стандартні квадратури. (див. Заміна змінних)

Формули основних квадратур

В наступній таблиці наведено найпоширеніші варіанти ваг і відповідних поліномів та інтервалів інтегрування

Інтервал	ω(x)	Ортогональні поліноми	Дивіться…
[−1, 1]	$1\,$	Поліноми Лежандра	Квадратури Гаусса — Лежандра
(−1, 1)	${\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$	Поліноми Чебишова (першого роду)	Квадратури Гаусса — Чебишова
[−1, 1]	${\sqrt {1-x^{2}}}$	Поліноми Чебишова (другого роду)	Квадратури Гаусса — Чебишова
(−1, 1)	$(1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta },\quad \alpha ,\beta >-1\,$	Поліноми Якобі	Квадратури Гаусса — Якобі
[0, ∞)	$e^{-x}\,$	Поліноми Лаґерра	Квадратури Гаусса — Лаґерра
[0, ∞)	$x^{\alpha }e^{-x}\,$	Узагальнені поліноми Лаґерра	Квадратури Гаусса — Лаґерра
(−∞, ∞)	$e^{-x^{2}}$	Поліноми Ерміта	Квадратури Гаусса — Ерміта

Квадратури Гаусса — Лежандра

Один з найпоширеніших випадків, коли $\omega (x)=1$, тоді для знаходження вузлів і ваг використовують поліноми Лежандра P_n(x), а метод також називають квадратурою Гаусса — Лежандра. Вузли знаходять, як корені поліномів P_n(x). Аналітичного співвідношення для них немає, а для вагових коефіцієнтів n-го порядку формула має вигляд:

$w_{i}={\frac {2}{\left(1-x_{i}^{2}\right)[P'_{n}(x_{i})]^{2}}}.\,\!$

Значення для деяких квадратур низького порядку наведено в таблиці:

Кількість вузлів, n	Точні значення		Заокруглені значення
	Вузли, xi	Ваги, wi	Вузли, xi	Ваги, wi
1	$0$	$2$	0	2
2	$\pm {\sqrt {1/3}}$	$1$	±0.57735027	1
3	$0$	${\tfrac {8}{9}}$	0	0.88888889
	$\pm {\sqrt {3/5}}$	${\tfrac {5}{9}}$	±0.77459667	0.55555556
4	$\pm {\sqrt {{\Big (}3-2{\sqrt {6/5}}{\Big )}/7}}$	${\tfrac {18+{\sqrt {30}}}{36}}$	±0.33998104	0.65214515
	$\pm {\sqrt {{\Big (}3+2{\sqrt {6/5}}{\Big )}/7}}$	${\tfrac {18-{\sqrt {30}}}{36}}$	±0.86113631	0.34785485
5	0	${\tfrac {128}{225}}$	0	0.56888889
	$\pm {\tfrac {1}{3}}{\sqrt {5-2{\sqrt {10/7}}}}$	${\tfrac {322+13{\sqrt {70}}}{900}}$	±0.53846931	0.47862867
	$\pm {\tfrac {1}{3}}{\sqrt {5+2{\sqrt {10/7}}}}$	${\tfrac {322-13{\sqrt {70}}}{900}}$	±0.90617985	0.23692689

Квадратури Гаусса — Чебишова

Для обчислення інтегралів на проміжку [-1;1] у випадку вагової функції $w(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$ використовують поліноми Чебишова першого роду T_n, вузли й ваги будуть задані співвідношеннями:

$x_{i}=\cos \left({\frac {2i-1}{2n}}\pi \right)$

$w_{i}={\frac {\pi }{n}}$

Коли ж $w(x)={\sqrt {1-x^{2}}}$ використовують поліноми Чебишова другого роду U_n, а вузли й ваги можна знайти зі співвідношень:

$x_{i}=\cos \left({\frac {i}{n+1}}\pi \right)$

$w_{i}={\frac {\pi }{n+1}}\sin ^{2}\left({\frac {i}{n+1}}\pi \right).\,$

Таблиця значень для деяких квадратур низького порядку:

Кількість вузлів, n	поліноми першого роду		поліноми другого роду
	Вузли, xi	Ваги, wi	Вузли, xi	Ваги, wi
1	0	$\pi$	0	${\frac {\pi }{2}}$
2	$\pm {\sqrt {2}}/2$	${\frac {\pi }{2}}$	$\pm 1/2$	${\frac {\pi }{4}}$
3	0	${\frac {\pi }{3}}$	0	${\frac {\pi }{4}}$
	$\pm {\sqrt {3}}/2$		$\pm {\sqrt {2}}/2$	${\frac {\pi }{8}}$
4	$\pm {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{\Big /}2$	${\frac {\pi }{4}}$	$\pm ({\sqrt {5}}+1)/4$	$\pi {\frac {5-{\sqrt {5}}}{40}}$
	$\pm {\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}{\Big /}2$		$\pm ({\sqrt {5}}-1)/4$	$\pi {\frac {5+{\sqrt {5}}}{40}}$
5	0	${\frac {\pi }{5}}$	0	${\frac {\pi }{6}}$
	$\pm {\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}{\Big /}4$		$\pm {\sqrt {3}}/2$	${\frac {\pi }{24}}$
	$\pm {\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}{\Big /}4$		$\pm 1/2$	${\frac {\pi }{12}}$

Квадратури Гаусса — Якобі

Для вагової функції $w(x)=(1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta }$ де α і β > −1 використовують поліноми Якобі P_n^(α,β)(x). В такому разі, вагові коефіцієнти можна знайти зі співвідношення:

$w_{i}=-{\frac {2n+\alpha +\beta +2}{n+\alpha +\beta +1}}{\frac {\Gamma (n+\alpha +1)\Gamma (n+\beta +1)}{\Gamma (n+\alpha +\beta +1)(n+1)!}}{\frac {2^{\alpha +\beta }}{P'_{n}(x_{i})P_{n+1}(x_{i})}},$

Квадратури Гаусса — Лаґерра

Щоб порахувати інтеграл $\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-x}f(x)\,dx.$ можна скористатись поліномами Лаґерра L_n. Вузли будуть коренями полінома L_n, а ваги задані формулою:

$w_{i}={\frac {x_{i}}{(n+1)^{2}[L_{n+1}(x_{i})]^{2}}}.$

В більш загальному випадку $w(x)=x^{\alpha }e^{-x}$ використовують узагальнені поліноми Лаґерра L_n^(α)

Квадратури Гауса — Ерміта

Для обчислення інтегралу $\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-x^{2}}f(x)\,dx$ вузли квадратури x_i шукають як розв'язки поліномів Ерміта (фізичної версії) H_n(x), а відповідні ваги w_i можна знайти:

$w_{i}={\frac {2^{n-1}n!{\sqrt {\pi }}}{n^{2}[H_{n-1}(x_{i})]^{2}}}$

Формули деяких модифікованих квадратур

Окрім різних вагових функцій і інтервалів інтегрування, для знаходження вузлів і ваг можуть накладатись і інші додаткові умови.

Квадратури Гаусса — Радау

Квадратурою Гаусса — Радау (або квадратура Радау) називають таку n точкову квадратуру, яка точна для поліномів порядку не вище 2n-3, але початкова точка інтервалу інтегрування включена в список вузлів квадратури, тоді як визначається решта n-1 вузол. Формула для інтеграла на проміжку [–1;1] з 1-ю ваговою функцією представляється у вигляді:

$\int _{-1}^{1}f(x)\,dx=w_{1}f(-1)+\sum _{i=2}^{n}w_{i}f(x_{i})+E.$

Невідомі вузли x_i для i = 2, …, n є коренями полінома ${\frac {P_{n-1}(x)+P_{n}(x)}{1+x}}$, де P_k, k-й поліном Лежандра.

Вага для першого вузла $w_{1}={\frac {2}{n^{2}}}$, решта визначаються за формулою:

$w_{i}={\frac {1-x_{i}}{[nP_{n-1}(x_{i})]^{2}}}={\frac {1}{(1-x_{i})[P_{n-1}^{'}(x_{i})]^{2}}}$

Залишковий член:

$E={\frac {2^{2n-1}n[(n-1)!]^{4}}{[(2n-1)!]^{3}}}f^{(2n-1)}(\xi ),\quad (-1<\xi <1).$

Таблиця значень для деяких квадратур низького порядку:

Кількість вузлів, n	Точні значення		Заокруглені значення
	Вузли, xi	Ваги, wi	Вузли, xi	Ваги, wi
2	$-1$	${\tfrac {1}{2}}$	-1	0.5
	$1/3$	${\tfrac {3}{2}}$	0.33333333	1.6
3	$-1$	${\tfrac {2}{9}}$	-1	0.22222222
	${\tfrac {1-{\sqrt {6}}}{5}}$	${\tfrac {16+{\sqrt {6}}}{18}}$	-0.28989795	1.02497165
	${\tfrac {1+{\sqrt {6}}}{5}}$	${\tfrac {16-{\sqrt {6}}}{18}}$	0.68989795	0.75280613
4			-1	0.125
			-0.575319	0.657689
			0.181066	0.776387
			0.822824	0.440924
5			-1	0.08
			-0.72048	0.446208
			-0.167181	0.623653
			0.446314	0.562712
			0.885792	0.287427

Квадратури Гаусса — Лобатто

Також відомі як квадратури Лобатто, названі на честь нідерландського математика Рехюла Лобатто. Це такі n точкові квадратури, які точні для поліномів порядку не вище 2n – 3, але початкова і кінцева точки інтервалу інтегрування включена в список вузлів квадратури, тоді як визначається решта n – 2 вузли. Формула для інтеграла на проміжку [–1;1] з 1-ю ваговою функцією:

$\int _{-1}^{1}{f(x)\,dx}=w_{1}f(-1)+w_{n}f(1)+\sum _{i=2}^{n-1}{w_{i}f(x_{i})}+E_{n}.$

Вузли x_i для i = 2, …, n-1 є i–1-ми коренями полінома P'_n-1.

Перша й остання ваги $w_{1,n}={\frac {2}{n(n-1)}}$, а решта:

$w_{i}={\frac {2}{n(n-1)[P_{n-1}(x_{i})]^{2}}}\quad (x_{i}\neq \pm 1).$

Залишок у вигляді:

$E_{n}={\frac {-n(n-1)^{3}2^{2n-1}[(n-2)!]^{4}}{(2n-1)[(2n-2)!]^{3}}}f^{(2n-2)}(\xi ),\quad (-1<\xi <1)$

Таблиця значень для деяких квадратур низького порядку:

Кількість вузлів, n	Точні значення		Заокруглені значення
	Вузли, xi	Ваги, wi	Вузли, xi	Ваги, wi
$3$	$0$	${\tfrac {4}{3}}$	0	1.33333333
	$\pm 1$	${\tfrac {1}{3}}$	±1	0.33333333
$4$	$\pm {\sqrt {1/5}}$	${\tfrac {5}{6}}$	±0.44721360	0.83333333
	$\pm 1$	${\tfrac {1}{6}}$	±1	0.16666667
$5$	$0$	${\tfrac {32}{45}}$	0	0.71111111
	$\pm {\sqrt {3/7}}$	${\tfrac {49}{90}}$	0.65465367	0.54444444
	$\pm 1$	${\tfrac {1}{10}}$	±1	0.1
$6$	${\sqrt {{\Big (}7-2{\sqrt {7}}{\Big )}{\Big /}21}}$	${\tfrac {14+{\sqrt {7}}}{30}}$	0.28523151	0.55485838
	${\sqrt {{\Big (}7+2{\sqrt {7}}{\Big )}{\Big /}21}}$	${\tfrac {14-{\sqrt {7}}}{30}}$	0.76505532	0.37847496
	$\pm 1$	${\tfrac {1}{15}}$	±1	0.06666667

Зміна інтервалу інтегрування

Перш ніж застосувати квадратуру до інтеграла на відрізку [a, b] він має бути трансформований в інтеграл на відрізку [−1, 1]. Для цього можна здійснити перетворення координат наступним чином:

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx={\frac {b-a}{2}}\int _{-1}^{1}f\left({\frac {b-a}{2}}z+{\frac {a+b}{2}}\right)\,dz.$

Застосувавши квадратуру Гаусса отримаємо наступну апроксимацію:

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {b-a}{2}}\sum _{i=1}^{n}w_{i}f\left({\frac {b-a}{2}}z_{i}+{\frac {a+b}{2}}\right).$

Див. також

• Чисельне інтегрування
• Метод трапецій
• Метод Сімпсона

Джерела

• Цегелик Г. Г. Чисельні методи. — Видавничий центр ЛНУ ім. Івана Франка, 2004.