Поліноми Чебишова

Ортогональні поліноми
Чебишова
Відкриті	Пафнутієм Чебишовим у 1854 році
Формула	$T_{n}(x)={\frac {(x+{\sqrt {x^{2}-1}})^{n}+(x-{\sqrt {x^{2}-1}})^{n}}{2}}$ $U_{n}(x)={\frac {(x+{\sqrt {x^{2}-1}})^{n+1}-(x-{\sqrt {x^{2}-1}})^{n+1}}{2{\sqrt {x^{2}-1}}}}$
Диференціальне рівняння	$(1-x^{2})\,y''-x\,y'+n^{2}\,y=0\,\!$ i $(1-x^{2})\,y''-3x\,y'+n(n+2)\,y=0\,\!$
Визначені на	$\ [-1,1]$
Вага	${\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$ для поліномів першого роду ${\sqrt {1-x^{2}}}$ для поліномів другого роду
Норма	${\begin{cases}\pi &:n=0\\\pi /2&:n\neq 0\end{cases}}$ для поліномів першого роду $\pi /2\;$ для поліномів другого роду
Примітки	Нулі поліномів Чебишова першого роду є оптимальними вузлами інтерполяційних схем.

Поліноми Чебишева — дві послідовності поліномів $\{T_{n}(x)\}_{n=0}^{\infty }$ і $\{U_{n}(x)\}_{n=0}^{\infty }$, названі на честь Пафнутія Чебишова.

Визначення

Поліном Чебишова першого роду визначається як

$T_{0}=1,\quad \quad T_{n}(x)=\cos(n\arccos x),$

де $n=1,2,3,...$ Поліном Чебишова першого роду $T_{n}(x)$ є поліномом степеня $n$ зі старшим коефіцієнтом $2^{n-1}$, що на відрізку $[-1,1]$ має найменше відхилення від нуля серед усіх таких поліномів. Вони утворюють ортогональний базис із ваговою функцією $w(x)=1/(1-x^{2})^{1/2}$ у інтервалі $[-1,1]$, оскільки підстановка $\theta =\arccos x$ приводить до рівняння

$\int _{-1}^{+1}T_{n}(x)T_{m}(x){\frac {dx}{(1-x^{2})^{1/2}}}=\int _{0}^{\pi }\cos n\theta \cos m\theta \,d\theta =0\quad \quad (m\neq n).$

Поліноми Чебишова другого роду визначаються як

$U_{0}=1,\quad \quad U_{n}(x)=\sin(n\arccos x),$

де $n=1,2,3,...$ Поліном Чебишова другого роду $U_{n}(x)$ є поліномом степеня $n$ зі старшим коефіцієнтом $2^{n}$, інтеграл від абсолютної величини якого на проміжку $[-1,1]$ набуває найменшого можливого значення.

Поліноми Чебишова можна записати у вигляді

$T_{n}(x)=1/2[(x+i{\sqrt {1-x^{2}}})^{n}+(x-i{\sqrt {1-x^{2}}})^{n}],$

$U_{n}(x)=1/2[(x+i{\sqrt {1-x^{2}}})^{n}-(x-i{\sqrt {1-x^{2}}})^{n}].$

Ці формули можна отримати, якщо вважати $x=\cos \theta ,$ представивши тригонометричні функції у експониненційній формі й застосовуючи теорему Муавра та замінюючи після цього $\cos \theta$ на $x,$ a $\sin \theta$ на $(1-x^{2})^{1/2}.$

Рекурентні співвідношення

Бінономіальний розклад рівнянь

$T_{n}(x)=1/2[(x+i{\sqrt {1-x^{2}}})^{n}+(x-i{\sqrt {1-x^{2}}})^{n}],$

$U_{n}(x)=1/2[(x+i{\sqrt {1-x^{2}}})^{n}-(x-i{\sqrt {1-x^{2}}})^{n}]$

приводить до рівнянь, які можна використати для обчислення декількох поліномів Чебишева. Ці рівняння мають наступний вигляд

$T_{n}(x)=\sum _{r=0}^{n/2}(-1)^{r}{\frac {n!}{(2r)!(n-2r)!}}(1-x^{2})^{r}x^{n-2r},$

$U_{n}(x)=\sum _{r=0}^{(n-1)/2}(-1)^{r}{\frac {n!}{(2r+1)!(n-2r-1)!}}(1-x^{2})^{r+1/2}x^{n-2r+1}.$

Поліноми Чебишова першого роду $T_{n}(x)$ можуть бути визначені за допомогою рекурентних співвідношень:

$T_{0}(x)=1\,$

$T_{1}(x)=x\,$

$T_{2}(x)=2x^{2}-1,$

$T_{3}(x)=4x^{3}-3x,$

$T_{4}(x)=8x^{4}-8x^{2}+1,$

$T_{5}(x)=16x^{5}-20x^{3}+5x;$

$T_{n+1}(x)=2xT_{n}(x)-T_{n-1}(x).\,$

Поліноми Чебишова другого роду $U_{n}(x)$ можуть бути визначені за допомогою рекурентних співвідношень:

$U_{0}(x)=1,$

$U_{1}(x)=2x,$

$U_{2}(x)=(1-x^{2})^{1/2},$

$U_{2}(x)=(1-x^{2})^{1/2}2x,$

$U_{3}(x)=(1-x^{2})^{1/2}(4x^{2}-1),$

$U_{4}(x)=(1-x^{2})^{1/2}(8x^{3}-4x),$

$U_{5}(x)=(1-x^{2})^{1/2}(16x^{4}-12x^{2}+1).$

$U_{n+1}(x)=2xU_{n}(x)-U_{n-1}(x).\,$

Генератриса поліномів першого роду має вигляд:

$\sum _{n=0}^{\infty }T_{n}(x)t^{n}={\frac {1-tx}{1-2tx+t^{2}}}.\,\!$

Генератриса поліномів другого роду має вигляд:

$\sum _{n=0}^{\infty }U_{n}(x)t^{n}={\frac {1}{1-2tx+t^{2}}}.\,\!$

Явні формули

Поліноми Чебишова є розв'язками рівняння Пелля в кільці поліномів із дійсними коефіцієнтами:

$T_{n}(x)^{2}-(x^{2}-1)U_{n-1}(x)^{2}=1$

Вони задовольняють рівність:

$T_{n}(x)+U_{n-1}(x){\sqrt {x^{2}-1}}=(x+{\sqrt {x^{2}-1}})^{n}.$

З останньої рівності також випливають формули:

$T_{n}(x)={\frac {(x+{\sqrt {x^{2}-1}})^{n}+(x-{\sqrt {x^{2}-1}})^{n}}{2}}=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\binom {n}{2k}}(x^{2}-1)^{k}x^{n-2k};$

$U_{n}(x)={\frac {(x+{\sqrt {x^{2}-1}})^{n+1}-(x-{\sqrt {x^{2}-1}})^{n+1}}{2{\sqrt {x^{2}-1}}}}=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\binom {n+1}{2k+1}}(x^{2}-1)^{k}x^{n-2k}.$

Тригонометричні співвідношення

Поліноми Чебишова першого роду $T_{n}(x)$ можуть бути визначені за допомогою рівняння

$T_{n}(\cos(\theta ))=\cos(n\theta ).\,$

або,

$T_{n}(x)=\cos(n\arccos x)=\cosh(n\,\mathrm {arccosh} \,x)\,\!$

Поліноми Чебишова другого роду $U_{n}(x)$ можуть бути визначені за допомогою рівняння

$U_{n}(\cos(\theta ))={\frac {\sin((n+1)\theta )}{\sin \theta }}.$

Можна також виразити через гіперболічні функції

$T_{n}(x)=\mathrm {ch} (n\,\mathrm {Arch} \,x)$

та

$U_{n}(x)=\mathrm {sh} (n\,\mathrm {Arch} \,x).$

Із цих рівнянь випливають рівняння

$T_{n}(x)=1/2[(x+i{\sqrt {1-x^{2}}})^{n}+(x-i{\sqrt {1-x^{2}}})^{n}],$

$U_{n}(x)=1/2[(x+i{\sqrt {1-x^{2}}})^{n}-(x-i{\sqrt {1-x^{2}}})^{n}]$

якщо вважати $x=\mathrm {ch} \,\varphi$, представити гіперболічні функції у експониненційному вигляді, відзначивши, що $\mathrm {ch} \,\varphi +\mathrm {sh} \,\varphi =e^{\varphi }$ та $\mathrm {ch} \,\varphi -\mathrm {sh} \,\varphi =e^{-\varphi }.$ Після цього потрібно замінити $\mathrm {ch} \,\varphi$ на $x,$ a $\mathrm {sh} \,\varphi$ на $(x^{2}-1)^{1/2}.$

Диференціальні рівняння Чебишова

Поліноми Чебишова є розв'язками диференціальних рівнянь:

$(1-x^{2})\,y''-x\,y'+n^{2}\,y=0\,\!$

і

$(1-x^{2})\,y''-3x\,y'+n(n+2)\,y=0\,\!$

відповідно для поліномів першого і другого роду.

Приклади

Поліноми Чебишева першого роду на відрізку−1 < x < 1: T₀, T₁, T₂, T₃, T₄ and T₅.

Перші поліноми Чебишова першого роду

$T_{0}(x)=1\,$

$T_{1}(x)=x\,$

$T_{2}(x)=2x^{2}-1\,$

$T_{3}(x)=4x^{3}-3x\,$

$T_{4}(x)=8x^{4}-8x^{2}+1\,$

$T_{5}(x)=16x^{5}-20x^{3}+5x\,$

$T_{6}(x)=32x^{6}-48x^{4}+18x^{2}-1\,$

$T_{7}(x)=64x^{7}-112x^{5}+56x^{3}-7x\,$

$T_{8}(x)=128x^{8}-256x^{6}+160x^{4}-32x^{2}+1\,$

$T_{9}(x)=256x^{9}-576x^{7}+432x^{5}-120x^{3}+9x.\,$

Перші поліноми Чебишова другого роду

Поліноми Чебишова другого роду на відрізку −1 < x < 1: U₀, U₁, U₂, U₃, U₄ and U₅.

$U_{0}(x)=1\,$

$U_{1}(x)=2x\,$

$U_{2}(x)=4x^{2}-1\,$

$U_{3}(x)=8x^{3}-4x\,$

$U_{4}(x)=16x^{4}-12x^{2}+1\,$

$U_{5}(x)=32x^{5}-32x^{3}+6x\,$

$U_{6}(x)=64x^{6}-80x^{4}+24x^{2}-1\,$

$U_{7}(x)=128x^{7}-192x^{5}+80x^{3}-8x\,$

$U_{8}(x)=256x^{8}-448x^{6}+240x^{4}-40x^{2}+1\,$

$U_{9}(x)=512x^{9}-1024x^{7}+672x^{5}-160x^{3}+10x.\,$

Властивості

Поліноми Чебишова мають такі властивості:

• Ортогональність відносно скалярного добутку (з вагою ${\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$ для поліномів першого роду і ${\sqrt {1-x^{2}}}$ для поліномів другого роду).

$\int _{-1}^{1}T_{n}(x)T_{m}(x)\,{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}={\begin{cases}0&:n\neq m\\\pi &:n=m=0\\\pi /2&:n=m\neq 0\end{cases}}$

$\int _{-1}^{1}U_{n}(x)U_{m}(x){\sqrt {1-x^{2}}}\,dx={\begin{cases}0&:n\neq m,\\\pi /2&:n=m.\end{cases}}$

• Серед усіх поліномів, значення яких на відрізку $[-1,1]$ не перевищує за модулем 1, поліном Чебишова має:
  • найбільший старший коефіцієнт;
  • найбільше значення у довільній точці $a\geq 1$.
• Нулі полінома Чебишова є оптимальними вузлами інтерполяційних схем.

Див. також

• Поліноми Фабера
• Список об'єктів, названих на честь Пафнутія Чебишова
• Васильев Н., Зелевинский А. Многочлены Чебышёва и рекуррентные соотношения