Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Ортогональні поліноми
Чебишова
Відкриті Пафнутієм Чебишовим у 1854 році
Формула
T
n
(
x
)
=
(
x
+
x
2
−
1
)
n
+
(
x
−
x
2
−
1
)
n
2
{\displaystyle T_{n}(x)={\frac {(x+{\sqrt {x^{2}-1}})^{n}+(x-{\sqrt {x^{2}-1}})^{n}}{2}}}
U
n
(
x
)
=
(
x
+
x
2
−
1
)
n
+
1
−
(
x
−
x
2
−
1
)
n
+
1
2
x
2
−
1
{\displaystyle U_{n}(x)={\frac {(x+{\sqrt {x^{2}-1}})^{n+1}-(x-{\sqrt {x^{2}-1}})^{n+1}}{2{\sqrt {x^{2}-1}}}}}
Диференціальне рівняння
(
1
−
x
2
)
y
″
−
x
y
′
+
n
2
y
=
0
{\displaystyle (1-x^{2})\,y''-x\,y'+n^{2}\,y=0\,\!}
i
(
1
−
x
2
)
y
″
−
3
x
y
′
+
n
(
n
+
2
)
y
=
0
{\displaystyle (1-x^{2})\,y''-3x\,y'+n(n+2)\,y=0\,\!}
Визначені на
[
−
1
,
1
]
{\displaystyle \ [-1,1]}
Вага
1
1
−
x
2
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
1
−
x
2
{\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}}}
Норма
{
π
:
n
=
0
π
/
2
:
n
≠
0
{\displaystyle {\begin{cases}\pi &:n=0\\\pi /2&:n\neq 0\end{cases}}}
π
/
2
{\displaystyle \pi /2\;}
Примітки Нулі полінома Чебишова є оптимальними вузлами інтерполяційних схем .
Поліноми Чебишева — дві послідовності поліномів
{
T
n
(
x
)
}
n
=
0
∞
{\displaystyle \{T_{n}(x)\}_{n=0}^{\infty }}
{
U
n
(
x
)
}
n
=
0
∞
{\displaystyle \{U_{n}(x)\}_{n=0}^{\infty }}
Пафнутія Чебишова .
Поліном Чебишова першого роду
T
n
(
x
)
{\displaystyle T_{n}(x)}
n
{\displaystyle n}
2
n
−
1
{\displaystyle 2^{n-1}}
Поліном Чебишова другого роду
U
n
(
x
)
{\displaystyle U_{n}(x)}
n
{\displaystyle n}
2
n
{\displaystyle 2^{n}}
інтеграл від абсолютної величини якого на проміжку
[
−
1
,
1
]
{\displaystyle [-1,1]}
Рекурентні співвідношення [ ред. • ред. код ] Поліноми Чебишова першого роду
T
n
(
x
)
{\displaystyle T_{n}(x)}
T
0
(
x
)
=
1
{\displaystyle T_{0}(x)=1\,}
T
1
(
x
)
=
x
{\displaystyle T_{1}(x)=x\,}
T
n
+
1
(
x
)
=
2
x
T
n
(
x
)
−
T
n
−
1
(
x
)
.
{\displaystyle T_{n+1}(x)=2xT_{n}(x)-T_{n-1}(x).\,}
Поліноми Чебишова другого роду
U
n
(
x
)
{\displaystyle U_{n}(x)}
U
0
(
x
)
=
1
{\displaystyle U_{0}(x)=1\,}
U
1
(
x
)
=
2
x
{\displaystyle U_{1}(x)=2x\,}
U
n
+
1
(
x
)
=
2
x
U
n
(
x
)
−
U
n
−
1
(
x
)
.
{\displaystyle U_{n+1}(x)=2xU_{n}(x)-U_{n-1}(x).\,}
Генератриса поліномів першого роду має вигляд:
∑
n
=
0
∞
T
n
(
x
)
t
n
=
1
−
t
x
1
−
2
t
x
+
t
2
.
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }T_{n}(x)t^{n}={\frac {1-tx}{1-2tx+t^{2}}}.\,\!}
Генератриса поліномів другого роду має вигляд:
∑
n
=
0
∞
U
n
(
x
)
t
n
=
1
1
−
2
t
x
+
t
2
.
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }U_{n}(x)t^{n}={\frac {1}{1-2tx+t^{2}}}.\,\!}
Поліноми Чебишова є розвязками рівняння Пелля :
T
n
(
x
)
2
−
(
x
2
−
1
)
U
n
−
1
(
x
)
2
=
1
{\displaystyle T_{n}(x)^{2}-(x^{2}-1)U_{n-1}(x)^{2}=1}
в кільці поліномів з дійсними коефіцієнтами і задовольняють рівність:
T
n
(
x
)
+
U
n
−
1
(
x
)
x
2
−
1
=
(
x
+
x
2
−
1
)
n
.
{\displaystyle T_{n}(x)+U_{n-1}(x){\sqrt {x^{2}-1}}=(x+{\sqrt {x^{2}-1}})^{n}.}
З останньої рівності також випливають формули:
T
n
(
x
)
=
(
x
+
x
2
−
1
)
n
+
(
x
−
x
2
−
1
)
n
2
=
∑
k
=
0
⌊
n
/
2
⌋
(
n
2
k
)
(
x
2
−
1
)
k
x
n
−
2
k
;
{\displaystyle T_{n}(x)={\frac {(x+{\sqrt {x^{2}-1}})^{n}+(x-{\sqrt {x^{2}-1}})^{n}}{2}}=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\binom {n}{2k}}(x^{2}-1)^{k}x^{n-2k};}
U
n
(
x
)
=
(
x
+
x
2
−
1
)
n
+
1
−
(
x
−
x
2
−
1
)
n
+
1
2
x
2
−
1
=
∑
k
=
0
⌊
n
/
2
⌋
(
n
+
1
2
k
+
1
)
(
x
2
−
1
)
k
x
n
−
2
k
.
{\displaystyle U_{n}(x)={\frac {(x+{\sqrt {x^{2}-1}})^{n+1}-(x-{\sqrt {x^{2}-1}})^{n+1}}{2{\sqrt {x^{2}-1}}}}=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\binom {n+1}{2k+1}}(x^{2}-1)^{k}x^{n-2k}.}
Тригонометричні співвідношення [ ред. • ред. код ] Поліноми Чебишова першого роду
T
n
(
x
)
{\displaystyle T_{n}(x)}
T
n
(
cos
(
θ
)
)
=
cos
(
n
θ
)
.
{\displaystyle T_{n}(\cos(\theta ))=\cos(n\theta ).\,}
або,
T
n
(
x
)
=
cos
(
n
arccos
x
)
=
cosh
(
n
a
r
c
c
o
s
h
x
)
{\displaystyle T_{n}(x)=\cos(n\arccos x)=\cosh(n\,\mathrm {arccosh} \,x)\,\!}
Поліноми Чебишова другого роду
U
n
(
x
)
{\displaystyle U_{n}(x)}
U
n
(
cos
(
θ
)
)
=
sin
(
(
n
+
1
)
θ
)
sin
θ
.
{\displaystyle U_{n}(\cos(\theta ))={\frac {\sin((n+1)\theta )}{\sin \theta }}.}
Диференціальні рівняння Чебишова [ ред. • ред. код ] Поліноми Чебишова є розвязками диференціальних рівнянь :
(
1
−
x
2
)
y
″
−
x
y
′
+
n
2
y
=
0
{\displaystyle (1-x^{2})\,y''-x\,y'+n^{2}\,y=0\,\!}
і
(
1
−
x
2
)
y
″
−
3
x
y
′
+
n
(
n
+
2
)
y
=
0
{\displaystyle (1-x^{2})\,y''-3x\,y'+n(n+2)\,y=0\,\!}
відповідно для поліномів першого і другого роду.
Поліноми Чебишева першого роду на відрізку
−1 < x < 1 :
T 0 ,
T 1 ,
T 2 ,
T 3 ,
T 4 and
T 5 .
Перші поліноми Чебишова першого роду [ ред. • ред. код ]
T
0
(
x
)
=
1
{\displaystyle T_{0}(x)=1\,}
T
1
(
x
)
=
x
{\displaystyle T_{1}(x)=x\,}
T
2
(
x
)
=
2
x
2
−
1
{\displaystyle T_{2}(x)=2x^{2}-1\,}
T
3
(
x
)
=
4
x
3
−
3
x
{\displaystyle T_{3}(x)=4x^{3}-3x\,}
T
4
(
x
)
=
8
x
4
−
8
x
2
+
1
{\displaystyle T_{4}(x)=8x^{4}-8x^{2}+1\,}
T
5
(
x
)
=
16
x
5
−
20
x
3
+
5
x
{\displaystyle T_{5}(x)=16x^{5}-20x^{3}+5x\,}
T
6
(
x
)
=
32
x
6
−
48
x
4
+
18
x
2
−
1
{\displaystyle T_{6}(x)=32x^{6}-48x^{4}+18x^{2}-1\,}
T
7
(
x
)
=
64
x
7
−
112
x
5
+
56
x
3
−
7
x
{\displaystyle T_{7}(x)=64x^{7}-112x^{5}+56x^{3}-7x\,}
T
8
(
x
)
=
128
x
8
−
256
x
6
+
160
x
4
−
32
x
2
+
1
{\displaystyle T_{8}(x)=128x^{8}-256x^{6}+160x^{4}-32x^{2}+1\,}
T
9
(
x
)
=
256
x
9
−
576
x
7
+
432
x
5
−
120
x
3
+
9
x
.
{\displaystyle T_{9}(x)=256x^{9}-576x^{7}+432x^{5}-120x^{3}+9x.\,}
Перші поліноми Чебишова другого роду [ ред. • ред. код ]
Поліноми Чебишова другого роду на відрізку −1 <
x < 1:
U 0 ,
U 1 ,
U 2 ,
U 3 ,
U 4 and
U 5 .
U
0
(
x
)
=
1
{\displaystyle U_{0}(x)=1\,}
U
1
(
x
)
=
2
x
{\displaystyle U_{1}(x)=2x\,}
U
2
(
x
)
=
4
x
2
−
1
{\displaystyle U_{2}(x)=4x^{2}-1\,}
U
3
(
x
)
=
8
x
3
−
4
x
{\displaystyle U_{3}(x)=8x^{3}-4x\,}
U
4
(
x
)
=
16
x
4
−
12
x
2
+
1
{\displaystyle U_{4}(x)=16x^{4}-12x^{2}+1\,}
U
5
(
x
)
=
32
x
5
−
32
x
3
+
6
x
{\displaystyle U_{5}(x)=32x^{5}-32x^{3}+6x\,}
U
6
(
x
)
=
64
x
6
−
80
x
4
+
24
x
2
−
1
{\displaystyle U_{6}(x)=64x^{6}-80x^{4}+24x^{2}-1\,}
U
7
(
x
)
=
128
x
7
−
192
x
5
+
80
x
3
−
8
x
{\displaystyle U_{7}(x)=128x^{7}-192x^{5}+80x^{3}-8x\,}
U
8
(
x
)
=
256
x
8
−
448
x
6
+
240
x
4
−
40
x
2
+
1
{\displaystyle U_{8}(x)=256x^{8}-448x^{6}+240x^{4}-40x^{2}+1\,}
U
9
(
x
)
=
512
x
9
−
1024
x
7
+
672
x
5
−
160
x
3
+
10
x
.
{\displaystyle U_{9}(x)=512x^{9}-1024x^{7}+672x^{5}-160x^{3}+10x.\,}
Поліноми Чебишова мають такі властивості:
Ортогональність відносно скалярного добутку (з вагою
1
1
−
x
2
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
1
−
x
2
{\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}}}
∫
−
1
1
T
n
(
x
)
T
m
(
x
)
d
x
1
−
x
2
=
{
0
:
n
≠
m
π
:
n
=
m
=
0
π
/
2
:
n
=
m
≠
0
{\displaystyle \int _{-1}^{1}T_{n}(x)T_{m}(x)\,{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}={\begin{cases}0&:n\neq m\\\pi &:n=m=0\\\pi /2&:n=m\neq 0\end{cases}}}
∫
−
1
1
U
n
(
x
)
U
m
(
x
)
1
−
x
2
d
x
=
{
0
:
n
≠
m
,
π
/
2
:
n
=
m
.
{\displaystyle \int _{-1}^{1}U_{n}(x)U_{m}(x){\sqrt {1-x^{2}}}\,dx={\begin{cases}0&:n\neq m,\\\pi /2&:n=m.\end{cases}}}
Серед усіх поліномів, значення яких на відрізку
[
−
1
,
1
]
{\displaystyle [-1,1]}
найбільший старший коефіцієнт;
найбільше значення у довільній точці
a
≥
1
{\displaystyle a\geq 1}
Нулі полінома Чебишова є оптимальними вузлами інтерполяційних схем .
![{\displaystyle \ [-1,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3175907f761b9e16bc6c405d2b521caa35e8062d)
![[-1,1]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51e3b7f14a6f70e614728c583409a0b9a8b9de01)
).svg)
).svg)
