Поліноми Чебишова

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Ортогональні поліноми
Чебишова
Відкриті Пафнутієм Чебишовим у 1854 році
Формула
Диференціальне рівняння

i

Визначені на
Вага для поліномів першого роду

для поліномів другого роду
Норма для поліномів першого роду
для поліномів другого роду
Примітки Нулі полінома Чебишова є оптимальними вузлами інтерполяційних схем.

Поліноми Чебишева — дві послідовності поліномів і , названі на честь Пафнутія Чебишова.


Поліном Чебишова першого роду є поліномом степеня зі старшим коефіцієнтом , що має найменше відхилення від нуля серед таких поліномів.

Поліном Чебишова другого роду є поліномом степеня зі старшим коефіцієнтом , інтеграл від абсолютної величини якого на проміжку набуває найменшого можливого значення.

Рекурентні співвідношення[ред.ред. код]

Поліноми Чебишова першого роду можуть бути визначені за допомогою рекурентних співвідношень:

Поліноми Чебишова другого роду можуть бути визначені за допомогою рекурентних співвідношень:

Генератриса поліномів першого роду має вигляд:

Генератриса поліномів другого роду має вигляд:

Явні формули[ред.ред. код]

Поліноми Чебишова є розвязками рівняння Пелля:

в кільці поліномів з дійсними коефіцієнтами і задовольняють рівність:

З останньої рівності також випливають формули:

Тригонометричні співвідношення[ред.ред. код]

Поліноми Чебишова першого роду можуть бути визначені за допомогою рівняння

або,

Поліноми Чебишова другого роду можуть бути визначені за допомогою рівняння

Диференціальні рівняння Чебишова[ред.ред. код]

Поліноми Чебишова є розвязками диференціальних рівнянь:

і

відповідно для поліномів першого і другого роду.

Приклади[ред.ред. код]

Поліноми Чебишева першого роду на відрізку−1 < x < 1: T0, T1, T2, T3, T4 and T5.

Перші поліноми Чебишова першого роду[ред.ред. код]

Перші поліноми Чебишова другого роду[ред.ред. код]

Поліноми Чебишова другого роду на відрізку −1 < x < 1: U0, U1, U2, U3, U4 and U5.

Властивості[ред.ред. код]

Поліноми Чебишова мають такі властивості:

  • Ортогональність відносно скалярного добутку (з вагою для поліномів першого роду і для поліномів другого роду).
  • Серед усіх поліномів, значення яких на відрізку не перевищує за модулем 1, поліном Чебишова має:
    • найбільший старший коефіцієнт;
    • найбільше значення у довільній точці .
  • Нулі полінома Чебишова є оптимальними вузлами інтерполяційних схем.

Див. також[ред.ред. код]