Поліноми Чебишова

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
Ортогональні поліноми
Чебишова
Відкриті Пафнутієм Чебишовим у 1854 році
Формула
Диференціальне рівняння

i

Визначені на
Вага для поліномів першого роду

для поліномів другого роду
Норма для поліномів першого роду
для поліномів другого роду
Примітки Нулі поліномів Чебишова першого роду є оптимальними вузлами інтерполяційних схем.

Поліноми Чебишева — дві послідовності поліномів і , названі на честь Пафнутія Чебишова.



Визначення[ред. | ред. код]

Поліном Чебишова першого роду визначається як

де Поліном Чебишова першого роду є поліномом степеня зі старшим коефіцієнтом , що на відрізку має найменше відхилення від нуля серед усіх таких поліномів. Вони утворюють ортогональний базис із ваговою функцією у інтервалі , оскільки підстановка приводить до рівняння

Поліноми Чебишова другого роду визначаються як

де Поліном Чебишова другого роду є поліномом степеня зі старшим коефіцієнтом , інтеграл від абсолютної величини якого на проміжку набуває найменшого можливого значення.

Поліноми Чебишова можна записати у вигляді

Ці формули можна отримати, якщо вважати представивши тригонометричні функції у експониненційній формі й застосовуючи теорему Муавра та замінюючи після цього на a на


Рекурентні співвідношення[ред. | ред. код]

Бінономіальний розклад рівнянь

приводить до рівнянь, які можна використати для обчислення декількох поліномів Чебишева. Ці рівняння мають наступний вигляд

Поліноми Чебишова першого роду можуть бути визначені за допомогою рекурентних співвідношень:

Поліноми Чебишова другого роду можуть бути визначені за допомогою рекурентних співвідношень:

Генератриса поліномів першого роду має вигляд:

Генератриса поліномів другого роду має вигляд:

Явні формули[ред. | ред. код]

Поліноми Чебишова є розв'язками рівняння Пелля в кільці поліномів із дійсними коефіцієнтами:

Вони задовольняють рівність:

З останньої рівності також випливають формули:

Тригонометричні співвідношення[ред. | ред. код]

Поліноми Чебишова першого роду можуть бути визначені за допомогою рівняння

або,

Поліноми Чебишова другого роду можуть бути визначені за допомогою рівняння

Можна також виразити через гіперболічні функції

та

Із цих рівнянь випливають рівняння

якщо вважати , представити гіперболічні функції у експониненційному вигляді, відзначивши, що та Після цього потрібно замінити на a на


Диференціальні рівняння Чебишова[ред. | ред. код]

Поліноми Чебишова є розв'язками диференціальних рівнянь:

і

відповідно для поліномів першого і другого роду.

Приклади[ред. | ред. код]

Поліноми Чебишева першого роду на відрізку−1 < x < 1: T0, T1, T2, T3, T4 and T5.

Перші поліноми Чебишова першого роду[ред. | ред. код]

Перші поліноми Чебишова другого роду[ред. | ред. код]

Поліноми Чебишова другого роду на відрізку −1 < x < 1: U0, U1, U2, U3, U4 and U5.

Властивості[ред. | ред. код]

Поліноми Чебишова мають такі властивості:

  • Ортогональність відносно скалярного добутку (з вагою для поліномів першого роду і для поліномів другого роду).
  • Серед усіх поліномів, значення яких на відрізку не перевищує за модулем 1, поліном Чебишова має:
    • найбільший старший коефіцієнт;
    • найбільше значення у довільній точці .
  • Нулі полінома Чебишова є оптимальними вузлами інтерполяційних схем.

Див. також[ред. | ред. код]