Поліноми Якобі

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Ортогональні поліноми
Якобі
Відкриті Карла Густава Якоба Якобі в 1859 році
Формула P_n^{(\alpha,\beta)} (z) = \frac{\Gamma (\alpha+n+1)}{n!\,\Gamma (\alpha+\beta+n+1)}\sum_{m=0}^n {n\choose m}\frac{\Gamma (\alpha + \beta + n + m + 1)}{\Gamma (\alpha + m + 1)} \left(\frac{z-1}{2}\right)^m
Диференціальне рівняння 
(1-x^2)y'' + ( \beta-\alpha - (\alpha + \beta + 2)x )y'+ n(n+\alpha+\beta+1) y = 0.\,
Визначені на \ [-1,1]
Вага (1-x)^{\alpha} (1+x)^{\beta} \,\!
Норма \frac{2^{\alpha+\beta+1}}{2n+\alpha+\beta+1}
\frac{\Gamma(n+\alpha+1)\Gamma(n+\beta+1)}{\Gamma(n+\alpha+\beta+1)n!}
Примітки

Поліноми Якобі — це клас ортогональних поліномів. Вони названі на честь Карла Густава Якоба Якобі.

Визначення[ред.ред. код]

Вони походять з гіпергеометричних функцій у тих випадках, коли наступні ряди кінцеві:

P_n^{(\alpha,\beta)}(z)=\frac{(\alpha+1)_n}{n!}
\,_2F_1\left(-n,1+\alpha+\beta+n;\alpha+1;\frac{1-z}{2}\right) ,

де (\alpha+1)_n є символом Похгаммера (для зростаючого факторіалу), (Абрамович і Стегун стор.561) і, таким чином, явний вираз


P_n^{(\alpha,\beta)} (z) = 
\frac{\Gamma (\alpha+n+1)}{n!\,\Gamma (\alpha+\beta+n+1)}
\sum_{m=0}^n {n\choose m}
\frac{\Gamma (\alpha + \beta + n + m + 1)}{\Gamma (\alpha + m + 1)} \left(\frac{z-1}{2}\right)^m ,

Звідки одне з кінцевих значень наступне.

P_n^{(\alpha, \beta)} (1) = {n+\alpha\choose n}.

Для цілих n\,


{z\choose n} = \frac{\Gamma(z+1)}{\Gamma(n+1)\Gamma(z-n+1)},

де \Gamma(z)\, — звичайна Гамма-функція, і


{z\choose n} = 0 \quad\hbox{for}\quad n < 0.

Ці поліноми задовольняють умові ортогональності.


\int_{-1}^1 (1-x)^{\alpha} (1+x)^{\beta} 
P_m^{(\alpha,\beta)} (x)P_n^{(\alpha,\beta)} (x) \; dx=
\frac{2^{\alpha+\beta+1}}{2n+\alpha+\beta+1}
\frac{\Gamma(n+\alpha+1)\Gamma(n+\beta+1)}{\Gamma(n+\alpha+\beta+1)n!} \delta_{nm}

для \alpha>-1 і \beta>-1.

Існує відношення сіметрії для поліномів Якобі.

P_n^{(\alpha, \beta)} (-z) = (-1)^n P_n^{(\beta, \alpha)} (z);

а тому інше значення поліномів:

P_n^{(\alpha, \beta)} (-1) = (-1)^n { n+\beta\choose n} .

Для дійсного x поліном Якобі може бути записаний наступним чином.

P_n^{(\alpha,\beta)}(x)=
\sum_s
{n+\alpha\choose s}{n+\beta \choose n-s}
\left(\frac{x-1}{2}\right)^{n-s} \left(\frac{x+1}{2}\right)^{s}

де s \ge 0 \, і  n-s \ge 0 \, . У спеціальному випадку, коли n, n+\alpha, n+\beta і n+\alpha +\beta — невід'ємні цілі, поліном Якобі може приймати наступний вигляд

P_n^{(\alpha,\beta)}(x)=  (n+\alpha)! (n+\beta)!
\sum_s
\left[s! (n+\alpha-s)!(\beta+s)!(n-s)!\right]^{-1}
\left(\frac{x-1}{2}\right)^{n-s} \left(\frac{x+1}{2}\right)^{s}.

Сума береться по всім цілим значенням s, для яких множники є невід'ємними.

Ця формула дозволяє виразити d-матрицю Вігнера d^j_{m' m}(\phi)\; (0\le \phi\le 4\pi) у термінах поліномів Якобі[1]


d^j_{m'm}(\phi) =\left[
\frac{(j+m)!(j-m)!}{(j+m')!(j-m')!}\right]^{1/2}
\left(\sin\frac{\phi}{2}\right)^{m-m'}
\left(\cos\frac{\phi}{2}\right)^{m+m'}
P_{j-m}^{(m-m',m+m')}(\cos \phi).

Похідні[ред.ред. код]

k-та похідна явного виразу призводить до


\frac{\mathrm d^k}{\mathrm d z^k}
P_n^{(\alpha,\beta)} (z) = 
\frac{\Gamma (\alpha+\beta+n+1+k)}{2^k \Gamma (\alpha+\beta+n+1)}
P_{n-k}^{(\alpha+k, \beta+k)} (z).

Примітки[ред.ред. код]

  1. L. C. Biedenharn and J. D. Louck, Angular Momentum in Quantum Physics, Addison-Wesley, Reading, (1981)

Посилання[ред.ред. код]

  • Andrews, George E.; Askey, Richard; Roy, Ranjan (1999), Special functions, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 71, Cambridge University Press, MR1688958, ISBN 978-0-521-62321-6; 978-0-521-78988-2 
  • Koornwinder, Tom H.; Wong, Roderick S. C.; Koekoek, Roelof; Swarttouw, René F., Orthogonal Polynomials, NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0521192255