Класифікація електромагнітних полів

У диференціальній геометрії та теоретичній фізиці класифікація електромагнітних полів є точковою класифікацією бівекторів у кожній точці лоренцевого різноманіття.

Теорема про класифікацію

Електромагнітне поле в точці p, тобто подія, лоренцевого простору-часу представляє собою дійсний бівектор F = F^ab визначений над дотичним простором у p.

Дотичний простір при p ізометричний як дійсний внутрішній простір до E ^1,3. Тобто він має таке саме поняття величини та кута вектора, як і простір-час Мінковського. Щоб спростити позначення, ми припустимо, що простір-час є Мінковським простір-часом.

Бівектор F є характеристикою теореми про класифікацію електромагнітних полів по відношенню до метрики Лоренца η = η_ab шляхом вивчення та визначення "основних нульових напрямків".

Це означає, що бівектор F ^ab отримує кососиметричний лінійний оператор F^a_b = F^acη_cb визначений зниженням одного показника з метрикою. Він діє на дотичний простір при p на r^a → F^a_br^b. Символ F використовується для позначення бівектора.

Ми згадуємо дихотомію, взяту з зовнішньої алгебри. Бівектор називається простим коли його можна записати як F = v ∧ w, де v, w лінійно незалежні величини. Будь ненульовий бівектор над 4-мірним векторним простором або простий, або може бути записаний як F = v ∧ w + x ∧ y, де v, w, x та y лінійно незалежні. Сформульована таким чином, дихотомія посилається на зовнішню алгебру. Легко бачити, що асоційований кососімметрічний лінійний оператор F a b має ранг 2 в першому випадку і ранг 4 у другому.

Щоб сформулювати теорему кваліфікації електромагнітних полів, ми розглядаємо проблему власних значень для F, тобто завдання пошуку власних значень λ і власних векторів r, що задовольняють рівняння для власних значень

$F^{a}{}_{b}r^{b}=\lambda \,r^{a}.$

Коса симетрія F означає, що:

• або власний вектор r є нульовим вектором (тобто η(r,r) = 0 ), або власне значення λ дорівнює нулю, або обидва.

Одномірний підпростір, який породжений нульовим власним вектором, називається головним нульовим напрямком бівектора.

Теорема характеризує можливі головні нульові напрямки бівектора. У ній зазначено, що для будь-якого ненульового бівектора повинен виконуватися один з указаних варіантів:

• бівектор має один "повторний" головний нульовий напрямок; в даному випадку, сам бівектор вважається нульовим ,
• бівектор має два різних головних нульових напрямки; у цьому випадку бівектор називається ненульовим.

Зазначимо, що для будь-якого ненульового бівектора два власні значення, пов'язані з двома різними основними нульовими напрямками, мають рівнозначну величину, але протилежний знак, λ = ±ν, тому є три підкласи ненульових бівекторів:

• космічні : ν = 0
• часові : ν ≠ 0 і rank F = 2
• непрості : ν ≠ 0 і rank F = 4 ,

де ранг відноситься до рангу лінійного оператора F. 

Фізичне пояснення

Дана алгебраїчна класифікація бівекторів має важливе застосування в релятивістській фізиці : електромагнітне поле представлено кососиметричним полем тензору другого рангу і ми отримуємо алгебраїчну класифікацію електромагнітних полів.

Тензор електромагнітного поля у декартовій діаграмі космічного часу Мінковського має складові

$F_{ab}=\left({\begin{matrix}0&B_{z}&-B_{y}&E_{x}/c\\-B_{z}&0&B_{x}&E_{y}/c\\B_{y}&-B_{x}&0&E_{z}/c\\-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c&0\end{matrix}}\right)$

де $E_{x},E_{y},E_{z}$ і $B_{x},B_{y},B_{z}$ компоненти електричного та магнітного полів, виміряні у спокої в наших координатах інерційним спостерігачем. У релятивістській фізиці зручно працювати з геометризованими одиницями, в яких $c=1$. У теорії відносності метрика Мінковського $\eta$ використовується для підвищення та зниження індексів.

Інваріанти

Основні інваріанти електромагнітного поля зазначені нижче:

$P\equiv {\frac {1}{2}}F_{ab}\,F^{ab}=\|{\vec {B}}\|^{2}-{\frac {\|{\vec {E}}\|^{2}}{c^{2}}}=-{\frac {1}{2}}{}^{*}F_{ab}\,{}^{*}F^{ab}$

$Q\equiv {\frac {1}{4}}F_{ab}\,{}^{*}F^{ab}={\frac {1}{8}}\epsilon ^{abcd}F_{ab}F_{cd}={\frac {{\vec {E}}\cdot {\vec {B}}}{c}}$.

(Основні тому, що кожен інший інваріант можна виразити через ці два. )

Нульове електромагнітне поле характеризується $P=Q=0$. При цьому електричне та магнітне поля перпендикулярні і мають однакову величину (в геометризованих одиницях). Прикладом нульового поля є плоска електромагнітна хвиля в просторі Мінковського.

Ненульове електромагнітне поле характеризується $P^{2}+Q^{2}\neq \,0$. У випадку $P\neq 0=Q$, існує інерційна система відліку в якій електричне або магнітне поле зникає. Їх називають відповідно магнітостатичне або електростатичне поле. Якщо $Q\neq 0$, існує інерційна система, в якій магнітне та електричне поля пропорційні.

Вигнуті лоренцеві різновиди

Згадані ситуації стосуються лише простір-часу Мінковського. Якщо ми замінимо "інерційний кадр" вище на поле кадру, на вигнутих колекторах все працює точно так же.

Див. також

• Теорема про електромагнітний пілінг
• Електровакуумний розчин
• Група Лоренца
• Класифікація Петрова

Список літератури

• Landau, Lev D.; Lifshitz, E. M. (1973). The Classical Theory of Fields. New York: Pergamon. ISBN 0-08-025072-6.Landau, Lev D.; Lifshitz, E. M. (1973). The Classical Theory of Fields. New York: Pergamon. ISBN 0-08-025072-6. Landau, Lev D.; Lifshitz, E. M. (1973). The Classical Theory of Fields. New York: Pergamon. ISBN 0-08-025072-6.