Лема Зариського

Лема Зариського — важлива лема в комутативній алгебрі, яка зокрема використовується при доведенні теореми Гільберта про нулі. Названа на честь Оскара Зарицького.

Лема стверджує, що якщо поле L є розширенням поля K і водночас L є скінченно породженою алгеброю над полем K то звідси випливає, що L є скінченним розширенням поля K.

Доведення

Припустимо спершу, що $L=K(v)$ для деякого $v\in L.$ Тоді кільце $K[v]$ є ізоморфним кільцю $K[X]/(F),$ де $K[X]$ — кільце многочленів над K і$F\in K[X],$ оскільки $K[X]$ є кільцем головних ідеалів. Також $(F)$ є простим ідеалом.

$(F)$ не може бути рівним нулю. Дійсно в цьому випадку $L=K(X)$ і це суперечить тому, що L є скінченно породженою алгеброю над K. Справді $K(X)$ не є скінченно породженою алгеброю над K оскільки якщо вибрати спільний знаменник b породжуючих елементів, то будь-який елемент $p\in K(X),$ знаменник якого не ділить жодного степеня b не може бути записаний через ці породжуючі елементи.

Отже, $(F)$ є ненульовим простим ідеалом. $F$ є незвідним многочленом, старший коефіцієнт якого можна вважати рівним 1. Ідеал $(F)$ є максимальним ідеалом і тому $K[v]=K[X]/(F)$ є полем, тобто $K[v]=K(v).$ Також $F(v)=0,$ тобто v є алгебраїчним елементом і $L=K(v)$ є скінченним розширенням поля K.

Припустимо тепер, що твердження теореми справедливе для випадку коли L є скінченно породженою алгеброю з n — 1 породжуючим елементом і доведемо, що твердження справедливе і для $L=K[v_{1},\ldots ,v_{n}].$ Позначимо $K_{1}=K(v_{1}).$ Тоді з припущення індукції $L=K_{1}[v_{2},\ldots ,v_{n}]$ є скінченним розширенням поля $K_{1}.$ Якщо також $K_{1}$ є алгебраїчним розширенням, то воно є скінченним і $L=K[v_{1},\ldots ,v_{n}]$ тоді теж є скінченним, оскільки у послідовності полів K ⊆ L ⊆ F, поле F є скінченним розширенням над K тоді і тільки тоді, коли F є скінченним розширенням над L та L є скінченним розширенням над K.

Тому припустимо, що $K_{1}$ не є алгебраїчним розширенням і тоді воно ізоморфно полю $K(X).$ Кожен елемент $v_{i},\;i=2,\ldots ,n$ є алгебраїчним над $K_{1},$ тобто виконується рівність:

$v_{i}^{n_{i}}+a_{i1}v_{i}^{n_{i}-1}+\ldots =0,\;a_{ij}\in K_{1}.$

Позначивши як a добуток знаменників всіх $a_{ij}$ в рівностях вище маємо також:

$(av_{i})^{n_{i}}+aa_{i1}(av_{i})^{n_{i}-1}+\ldots =0.$

Оскільки з попереднього $aa_{ij}\in K[v_{1}]$ то всі елементи $av_{i}$ є алгебраїчними цілими над $K[v_{1}].$ Оскільки алгебраїчні цілі утворюють кільце, то для кожного $z\in K[v_{1},\ldots ,v_{n}]$ існує $m\in \mathbb {N} ,$ таке що $a^{m}z$ є алгебраїчним цілим над $K[v_{1}].$

Зокрема, оскільки $K(v_{1})\subset K[v_{1},\ldots ,v_{n}],$ то це твердження є справедливим і для $K(v_{1}).$ Проте за припущенням $K(v_{1})$ є ізоморфним полю $K(X)$ і $K[v_{1}]$ є ізоморфним кільцю $K[X].$ Елемент поля $K(X)$ є алгебраїчним цілим над $K[X]$ тоді і тільки тоді коли він належить $K[X].$ Дійсно якщо $z=F/G\in K(X),$ де $F,G\in K[X]$ — взаємно прості многочлени, то з $z^{n}+a_{1}z^{n-1}+\ldots =0$ випливає $F^{n}+a_{1}F^{n-1}G+\ldots =0,$ тому G ділить F і відповідно G = 1. Зокрема, якщо знаменник $z$ не ділить $a$, то $a^{m}z$ не може бути алгебраїчним цілим для довільного $m\in \mathbb {N} .$

Тому з усіх цих властивостей маємо, що $K(v_{1})$ не може бути ізоморфним $K(X)$ і відповідно $K_{1}$ є алгебраїчним розширенням, що завершує доведення.

Див. також

• Теорема Гільберта про нулі

Джерела

• William Fulton. Algebraic Curves: An Introduction To Algebraic Geometry New York: Benjamin, 1969. Reprint ed.: Redwood City, CA, USA: Addison-Wesley, Advanced Book Classics, 1989. ISBN 0-201-51010-3. Електронна версія [Архівовано 7 жовтня 2009 у Wayback Machine.].(англ.)