Ціле алгебраїчне число

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Цілими алгебраїчними числами називаються комплексні (і зокрема дійсні) корені многочленів з цілими коефіцієнтами і із старшим коефіцієнтом, рівним одиниці.

Приклади цілих алгебраїчних чисел[ред.ред. код]

Властивості[ред.ред. код]

  • По відношенню до додавання і множення комплексних чисел, цілі алгебраїчні числа утворюють кільце . Очевидно є підкільцем поля алгебраїчних чисел і містить всі звичайні цілі числа. Дане кільце є кільцем Дедекінда.
  • Нехай — деяке комплексне число. Розглянемо кільце , породжене додаванням до кільця звичайних цілих чисел . Воно утворене всілякими значеннями , де — многочлен з цілими коефіцієнтами. Тоді має місце наступний критерій: число є цілим алгебраїчним числом тоді і тільки тоді, коли скінченнопороджена абелева група.
  • є цілим алгебраїчним числом тоді і тільки тоді коли існує скінченнопороджений -підмодуль такий що .
  • Для кожного алгебраїчного числа існує натуральне число таке, що — ціле алгебраїчне число. Тобто поле алгебраїчних чисел є полем часток кільця цілих алгебраїчних чисел.
  • Як і для всіх алгебраїчних чисел для довільного цілого алгебраїчного числа існує мінімальний многочлен, тобто многочлен найменшого можливого степеня із старшим коефіцієнтом рівним 1 для якого виконується f(α) = 0. Для цілих алгебраїчних чисел і тільки для них при цьому всі коефіцієнти цього многочлена насправді будуть цілими числами, тобто Всі інші корені f(x) теж будуть цілими алгебраїчними числами для яких f(x) буде мінімальним многочленом. Такі числа називаються спряженими до .
  • Корені многочлена з цілими алгебраїчними коефіцієнтами і старшим коефіцієнтом 1 є цілими алгебраїчними числами, зокрема корінь будь-якого степеня з цілого алгебраїчного числа теж є цілим алгебраїчним числом.
  • Кільце цілих алгебраїчних чисел є цілозамкнутим. Воно є цілим замиканням кільця звичайних (раціональних цілих чисел.)
  • Кільце цілих алгебраїчних чисел є кільцем Безу.
  • Дійсні цілі алгебраїчні числа утворюють всюди щільну підмножину дійсних чисел.

Одиниці (оборотні елементи) кільця цілих алгебраїчних чисел[ред.ред. код]

Ціле алгебраїчне число ε називається алгебраїчною одиницею (коротко — одиницею), якщо воно є оборотним в кільці цілих алгебраїчних чисел, тобто якщо 1/ε — ціле алгебраїчне число. Одиниця ділить будь-яке ціле алгебраїчне число. Число, обернене до одиниці теж є одиницею; числа спряжені з одиницею, є одиницями; кожен дільник одиниці є одиницею; добуток скінченної кількості одиниць є одиницею. Ціле алгебраїчне число буде одиницею тоді і тільки тоді, коли добуток всіх його спряжених рівне . Корені k-го степеня з числа 1 є одиницями, причому кожна з них по модулю рівна 1. Існує нескінченна множина інших одиниць, не рівних по модулю 1. Наприклад, числа і є одиницями як корені многочлена .

Два цілих алгебраїчних числа називаються асоційованими якщо вони відрізняються множником, що є одиницею. Є ще одна важлива відмінність кільця цілих алгебраїчних чисел від кільця цілих раціональних чисел. У першому не можна ввести поняття нерозкладного цілого числа (аналог простого числа). Це випливає хоч би з того, що корінь з будь-якого цілого алгебраїчного числа є цілим алгебраїчним числом.

Посилання[ред.ред. код]