Метакомпактний простір

У математиці, зокрема загальній топології, топологічний простір називається метакомпактним, якщо для кожного його відкритого покриття існує точково скінченне подрібнення. Тобто, для будь-якого відкритого покриття топологічного простору, існує подрібнення, яке знову є відкритим покриттям із властивістю, що кожна точка є елементом лише у скінченній кількості множин подрібнення.

Топологічний простір називається зліченно метакомпактним, якщо для кожного зліченного відкритого покриття існує точково скінченне подрібнення.

Формальне означення

Нехай ${\mathcal {U}}=(U_{i})_{i\in I}$ є відкритим покриттям топологічного простору $X$, тобто сім'єю відкритих підмножин для яких $\textstyle X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ і ${\mathcal {V}}=(V_{j})_{j\in J}$ є сім'єю відкритих підмножин, що задовольняє умови:

• $X=\bigcup _{j\in J}V_{j}$,   тобто ${\mathcal {V}}$ теж є відкритим покриттям простору $X$
• $\forall j\in J:\exists i\in I:V_{j}\subset U_{i}$, тобто ${\mathcal {V}}$ є подрібненням покриття ${\mathcal {U}}$
• $\forall x\in X:|\{j\in J;x\in V_{j}\}|<\infty$,   тобто покриття ${\mathcal {V}}$ є точково скінченним.

Приклади

• Кожен паракомпактний простір є метакомпактним. Це означає, наприклад, що всі компактні простори і метричні простори є метакомпактними.
• Прикладом метакомпактного простору, що не є паракомпактним є дошка Дьєдоне. Дошка Дьєдоне є також прикладом того, що метакомпактний простір може не бути нормальним.
• Простим прикладом простору, що не є метакомпактним але є зліченно метакомпактним) є площина Немицького.
• Стрілка Зоргенфрея є паракомпактним, а тому і метакомпактним простором, проте добуток двох стрілок (площина Зоргенфрея) не є метакомпактним простором.
• Зліченно компактний простір Лінделефа є метакомпактним і кожен сепарабельний метакомпактний простір є простором Лінделефа.

Властивості

• Замкнутий підпростір метакомпактного простору теж є метакомпактним.
• Кожен метакомпактний простір є ортокомпактним.
• Нормальний метакомпактний простір є зліченно паракомпактним але може не бути паракомпактним.
• Кожен метакомпактний нормальний простір задовольняє властивість стиснення: для довільного відкритого покриття ${\mathcal {U}}=(U_{i})_{i\in I}$ існує таке покриття ${\mathcal {V}}=(V_{i})_{i\in I}$ індексоване тією ж множиною, що $V_{i}\subset U_{i}$ і для всіх замикань також ${\bar {V}}_{i}\subset U_{i}.$ Якщо покриття ${\mathcal {U}}$ є точково скінченним, то таким є і ${\mathcal {V}}.$
• Добуток компактного простору і метакомпактного простору є метакомпактним.
• Для того, щоб цілком регулярний простір X був компактним, необхідно і достатньо, щоб X був метакомпактним і псевдокомпактним.

Розмірність Лебега

Топологічний простір X має розмірність Лебега n, якщо для кожного відкритого покриття X існує подрібнення, таке що жодна точка простору X належить не більш ніж n + 1 множині із подрібнення і якщо n є мінімальним значенням, для якого це справджуєть. Якщо такого мінімального n не існує то простір має нескінченну розмірнісь Лебега. Усі простори скінченної міри Лебега є очевидно метакомпактними.

Див. також

• Компактний простір
• Нормальний простір
• Паракомпактний простір
• Розмірність Лебега
• Цілком регулярний простір

Література

• Watson, W. Stephen (1981). Pseudocompact metacompact spaces are compact. Proc. Amer. Math. Soc. 81: 151—152. doi:10.1090/s0002-9939-1981-0589159-1..
• Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978]. Counterexamples in Topology (вид. Dover reprint of 1978). Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-486-68735-3. MR 0507446. P.23.