Поверхня Боя

Анімація поверхні Боя

У геометрії поверхня Боя — приклад занурення дійсної проєктивної площини в 3-вимірному просторі. На відміну від римської поверхні та плівки Мебіуса, вона не має інших особливих точок, крім самоперетину.

Історія

Знайдена Вернером Боєм у 1901 році, який відкрив її за завданням Давида Гільберта, щоб довести, що проєктивну площину не можна занурити в 3-просторі.

Поверхня Боя вперше явно параметризував Бернар Морен у 1978 році. Іншу параметризацію виявили Роб Куснер і Роберт Браянт. Поверхня Боя є одним із двох можливих занурень дійсної проєктивної площини, які мають лише одну потрійну точку.

Модель поверхні Боя в Обервольфасі

Властивості

Поверхня Боя має 3-кратну симетрію. Це означає, що у неї є вісь дискретної симетрії обертання: будь-який поворот на 120° навколо цієї осі залишає поверхню виглядати точно так само. Поверхня Боя може бути розрізана на три взаємно конгруентні частини.

Застосування

Побудова поверхні Боя з паперу

Поверхня Боя може бути використана як проміжна модель у мінімаксному вивертанні сфери. Проміжна модель — це занурення сфери із такою властивістю, що обертання міняється всередині і зовні, і тому вона може бути використана для того, щоб вивернути сферу (навиворіт). Поверхні Боя (с = 3) і Морена (с = 2) починають послідовність проміжних моделей із вищою симетрією, вперше запропонованих Джорджем Френсісом, індексованих парними цілими числами 2p (для p неарного, ці занурення можна розкласти на множники через проєктивну площину). Все це передає параметризація Куснера.

Параметризація поверхні Боя

Вигляд описаної тут параметризації

Поверхня Боя може бути параметризована кількома способами. Одна з параметризацій, яку відкрили Роб Куснер і Роберт Браянт, така: дано комплексне число w, величина якого менша або дорівнює одиниці ($\|w\|\leq 1$), нехай

${\begin{aligned}g_{1}&=-{3 \over 2}\operatorname {Im} \left[{w\left(1-w^{4}\right) \over w^{6}+{\sqrt {5}}w^{3}-1}\right]\\[4pt]g_{2}&=-{3 \over 2}\operatorname {Re} \left[{w\left(1+w^{4}\right) \over w^{6}+{\sqrt {5}}w^{3}-1}\right]\\[4pt]g_{3}&=\operatorname {Im} \left[{1+w^{6} \over w^{6}+{\sqrt {5}}w^{3}-1}\right]-{1 \over 2}\\\end{aligned}}$

таким чином

${\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\frac {1}{g_{1}^{2}+g_{2}^{2}+g_{3}^{2}}}{\begin{pmatrix}g_{1}\\g_{2}\\g_{3}\end{pmatrix}}$

де x, y і z — шукані декартові координати точки на поверхні Боя.

Якщо виконати інверсію цієї параметризації з центром у потрійній точці, то отримаємо повну мінімальну поверхню з трьома кінцями (саме так ця параметризація була відкрита природним чином). Це означає, що параметризація Браянта-Куснера поверхонь Боя є «оптимальною» в тому сенсі, що це «найменш вигнуте» занурення проєктивної площини в тривимірний простір.

Зациклений анімований розріз поверхні Боя.

Властивість параметризації Браянта–Куснера

Якщо w замінити на від'ємне значення, зворотне його комплексно спряженому, ${\textstyle -{1 \over w^{\star }},}$ тоді функції g₁, g₂ і g₃ від w залишаються незмінними.

Замінивши w в термінах його дійсної та уявної частин w = s + it, і розширивши результуючу параметризацію, можна отримати параметризацію поверхні Боя в термінах раціональних функцій s і t. Це показує, що поверхня Боя є не тільки алгебраїчною, але навіть раціональною поверхнею. Зауваження до попереднього параграфа показує, що спільна точка цієї параметризації складається з двох точок (тобто майже кожна точка поверхні Боя може бути отримана за двома значеннями параметрів).

Зв'язок поверхні Боя з дійсною проєктивною площиною

Нехай $P(w)=(x(w),y(w),z(w))$ — параметризація Браянта–Куснера поверхні Боя. Тоді

$P(w)=P\left(-{1 \over w^{\star }}\right).$

Це пояснює умову $\left\|w\right\|\leq 1$ за параметром: якщо $\left\|w\right\|<1,$ тоді ${\textstyle \left\|-{1 \over w^{\star }}\right\|>1.}$ Однак тут все трохи складніше $\left\|w\right\|=1.$ У цьому випадку ${\textstyle -{1 \over w^{\star }}=-w.}$ Це означає, що якщо $\left\|w\right\|=1,$ точка поверхні Боя виходить із двох значень параметрів: $P(w)=P(-w).$ Іншими словами, поверхня Боя була параметризована диском таким чином, що пари діаметрально протилежних точок по периметру диска еквівалентні. Це показує, що поверхня Боя є зображенням дійсної проєктивної площини RP² гладкою функцією. Тобто параметризація поверхні Боя — це занурення дійсної проєктивної площини в евклідовий простір.

Примітки

Джерела

• Kirby, Rob (November 2007), What is Boy's surface? (PDF), Notices of the AMS, 54 (10): 1306—1307 This describes a piecewise linear model of Boy's surface.
  • Casselman, Bill (November 2007), Collapsing Boy's Umbrellas (PDF), Notices of the AMS, 54 (10): 1356 Article on the cover illustration that accompanies the Rob Kirby article.
• Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach (2011), The Boy surface at Oberwolfach (PDF).
• Sanderson, B. Boy's will be Boy's, (undated, 2006 or earlier).
• Weisstein, Eric W. Boy's Surface(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.