Система коренів

Ця стаття описує систему коренів у математиці, для опису кореневої системи рослин дивіться — корінь.

У математиці система коренів (коренева система) — це конфігурація векторів в евклідовому просторі, що задовольняє певним геометричним властивостям. Ця концепція є фундаментальною в теорії груп Лі. З тих пір як групи Лі (і деякі інші аналоги, такі як алгебричні групи) протягом двадцятого століття з'явилися в багатьох розділах математики. Більш того, класифікація систем коренів за схемами Динкіна​​ зустрічається в розділах математики, не пов'язаних явно з групами Лі (наприклад, в теорії сингулярностей).

Означення

Нехай $V$ — скінченновимірний евклідів простір із звичайним скалярним добутком, позначеним як $(\cdot ,\;\cdot )$. Система корнів у $V$ — це скінченна множина $\Phi$ ненульових векторів (званих корнями), що задовільняють наступним властивостям.

Цілістна умова для $\scriptstyle {\langle \alpha ,\;\beta \rangle }$ змушує $\scriptstyle \beta$ лежати на одній з вертикальних прямих. Комбінація цієї умови з цілістною умовою для $\scriptstyle {\langle \alpha ,\;\beta \rangle }$ зводить можливі кути між $\scriptstyle \alpha$ и $\scriptstyle \beta$ не більш ніж до двох, для кожної з вертикальних прямих.

1. $V$ є лінійною оболонкою системи коренів.
2. Якщо два кореня $\alpha \in \Phi$, $\beta \in \Phi$ є колінеарними векторами, то або вони збігаються, або $\beta =-\alpha$.
3. Для кожного кореня $\alpha \in \Phi$ множина $\Phi$ замкнута відносно віддзеркалення в гіперплощині, що перпендикулярна $\alpha$. Тобто для будь-яких двох коренів $\alpha$ і $\beta$, множина $\Phi$ містить віддзеркалення $\beta$

   $\sigma _{\alpha }(\beta )=\beta -2{\frac {(\alpha ,\;\beta )}{(\alpha ,\;\alpha )}}\alpha \in \Phi .$

4. (Умова цілісності) Якщо $\alpha$ і $\beta$ є коренями у $\Phi$, тоді проєкція $\beta$ на пряму, що проходить через $\alpha$, є напівцілим добутком $\alpha$. Тобто

   $\langle \beta ,\;\alpha \rangle =2{\frac {(\alpha ,\;\beta )}{(\alpha ,\;\alpha )}}\in \mathbb {Z} .$

Беручи до уваги властивість 3, умова цілісності еквівалентна твердженню, що різниця між $\beta$ та його відображенням $\sigma _{\alpha }(\beta )$ дорівнює корню $\alpha$, помноженому на ціле число. Слід зазначити, що оператор

$\langle \cdot ,\;\cdot \rangle \colon \Phi \times \Phi \to \mathbb {Z}$,

визначений властивістю 4, не є скалярним добутком. Він не симетричний і лінійний лише за першим аргументом.

Класифікація систем коренів за схемою Динкіна

Приклади системи коренів рангу 1 і рангу 2

Існує тільки одна система коренів рангу 1, вона складається з двох ненульових векторів $\{\alpha ,\;-\alpha \}$. Ця система називається $A_{1}$.

У ранзі 2 існують чотири можливі варіанти $\sigma _{\alpha }(\beta )=\beta +n\alpha$, де $n=0,\;1,\;2,\;3$.

Система коренів рангу 2

Система коренів $A_{1}\times A_{1}$	Система коренів $A_{2}$
Система коренів $B_{2}$	Система коренів $G_{2}$

Посилання

• Дынкин Е. Б. Структура полупростых алгебр Ли // Успехи математических наук. — 1947. — Т. 2, вип. 4(20). — С. 59–127.
• Дынкин Е. Б. Классификация простых групп Ли // Математический сборник. — 1946. — Т. 18(60), вип. 3. — С. 347–352.
• Хамфрис Дж. Введение в теорию алгебр Ли и их представлений / Перев. с англ. Б. Р. Френкина. — М.: МЦНМО, 2008. — 216 с.
• Винберг Э. Б., Онищик А. Л. Семинар по группам Ли и алгебраическим группам — М.: УРСС, 1995. — 344 с.
• Хамфри Дж. Линейные алгебраические группы / Пер. с англ./Под ред. В. П. Платонова. — М.: Наука, 1980. — 400 с.
• Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли (часть 2) / Пер. с франц./Под ред. А. И. Кострикина. — М.: Мир, 1972. — 332 с.