Тензор кручення

Тензором кручення в диференціальній геометрії називається векторозначний тензор, що кожній парі векторних полів $X,Y$ класу $C^{\infty }$, заданих на деякому гладкому многовиді з введеною афінною зв'язністю присвоює векторне поле $T(X,Y)$ класу $C^{\infty }$. Разом із тензором кривини тензор кручення є одним з головних інваріантів афінної зв'язності. Зокрема тензор кручення відіграє дуже важливу роль у вивченні геометрії геодезичних ліній на многовидах.

Означення

За допомогою афінної зв'язності

Нехай $(M,\nabla )$ є диференційовним многовидом разом з визначеною на ньому афінною зв'язністю $\nabla$. Тензор кручення $T$ задається як векторозначне тензорне поле, що визначається рівністю:

$T(X,Y)=\nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X-[X,Y]$

Тут $X,Y\in \Gamma (TM)$ — векторні поля, а $[\cdot ,\cdot ]$ — дужки Лі.

За допомогою диференціальних форм

Нехай векторні поля $e_{1},\ldots ,e_{n}$ є локальним базисом із $C^{\infty }$-векторних полів дотичного розшарування $TU$ для деякої відкритої підмножини $U\subset M$ і $w_{1},\ldots ,w_{n}$ є двоїстими $C^{\infty }$-диференціальними формами. Для афінної зв'язності $\nabla$ позначимо $w_{ij}$ диференціальні форми для яких

$\nabla _{X}e_{i}=\sum _{i=1}^{n}w_{ij}(X)e_{j},\ \forall X\in TU.$

Тоді $w_{ij}$ є теж диференційовними формами класу $C^{\infty }$.

Задамо також векторозначний тензор $T(X,Y)$ через його компоненти як $T(X,Y)=\sum _{i=1}^{n}T_{i}(X,Y)e_{i},$ де $T_{i}(X,Y)$ є дійснозначними тензорами аргументами яких є вектори (в якійсь точці) чи векторні поля (для усієї множини $U$).

Тоді $T(X,Y)$ із компонентами $T_{i}(X,Y)$ є тензором кручення тоді і тільки тоді коли виконуються рівності

$T_{i}=\operatorname {d} w_{i}+\sum _{j=1}^{n}w_{ij}\wedge w_{j}$

де $\operatorname {d} w_{i}$ позначає зовнішню похідну диференційної форми, а $w_{ij}\wedge w_{j}$ — зовнішній добуток диференціальних форм.

Відповідно, якщо $w_{ij}$ є довільними гладкими диференціальними формами на $U$, то вони задають афінну зв'язність і для цієї зв'язності задані вище $T_{i}(X,Y)$ є компонентами тензора кручення.

Через компоненти в локальних координатах

Нехай векторні поля $e_{1},\ldots ,e_{n}$ є локальним базисом із $C^{\infty }$-векторних полів дотичного розшарування $TU$ для деякої відкритої підмножини $U\subset M$ .

Нехай $T_{ij}^{k}$ позначає компоненти тензора кручення, так що $T(e_{i},e_{j})=\sum _{k=1}^{n}T_{ij}^{k}e_{k}$ або використовуючи позначення вище $T_{ij}^{k}=T_{k}(e_{i},e_{j})$.

Позначимо також $\Gamma _{ij}^{k}$ — символи Крістофеля (тобто, наприклад, $\Gamma _{ij}^{k}=w_{ki}(e_{j})$ і $\nabla _{e_{j}}e_{i}=\sum _{k=1}^{n}\Gamma _{ij}^{k}e_{k}$) і коефіцієнти $\gamma _{ij}^{k}$, що одержуються із розкладу для дужок Лі $[e_{i},e_{j}]=\sum _{k=1}^{n}\gamma _{ij}^{k}e_{k}$.

Компоненти $T_{ij}^{k}$ тензора кручення в локальних координатах запишуться через формулу:

$T^{k}{}_{ij}=\Gamma ^{k}{}_{ij}-\Gamma ^{k}{}_{ji}-\gamma ^{k}{}_{ij},\quad i,j,k=1,2,\ldots ,n.$

. Якщо локальним базисом є, наприклад координатний базис, то $\gamma _{ij}^{k}=0$ і для компонент тензора кручення справедлива формула:

$T^{k}{}_{ij}=\Gamma ^{k}{}_{ij}-\Gamma ^{k}{}_{ji},\quad i,j,k=1,2,\ldots ,n.$

Відповідно якщо символи Крістофеля задають афінну зв'язність, то $T_{ij}^{k}$ визначені як вище є компонентами відповідного тензора кручення.

Властивості

З властивостей афінних зв'язностей і дужок Лі одразу одержуються наступні властивості тензора кручень:

• Тензор кручення є кососиметричним, тобто: $T(X,Y)=-T(Y,X);$
• Тензор кручення є білінійним: $T(X+Y,Z)=T(X,Z)+T(Y,Z),\;T(X,Y+Z)=T(X,Y)+T(X,Z);$
• Для довільної гладкої на многовиді функції f: $T(fX,Y)=T(X,fY)=fT(X,Y).$

Геодезичні лінії і різниці зв'язностей

Нехай γ(t) є кривою на многовиді M із афінною зв'язністю ∇. Тоді γ називається геодезичною лінією для ∇ якщо

$\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}{\dot {\gamma }}(t)=0$

для всіх t із області визначення γ. Тут ${\dot {\gamma }}(t)$ задає векторне поле вздовж кривої γ. Кожна геодезична лінія однозначно задається дотичним вектором ${\dot {\gamma }}(0)$ у початковій точці t = 0.

Дві афінні зв'язності ∇ і ∇′ мають одні і ті ж геодезичні лінії тоді і лише тоді коли вони умовно кажучи відрізняються лише тензором кручення.

Більш формально нехай X і Y є векторними полями в околі точки p ∈ M і

$\Delta (X,Y)=\nabla _{X}Y-\nabla '_{X}Y$

є різницею двох зв'язностей. У точці p Δ залежить лише від значень X і Y у p, тож загалом Δ є тензором на M. Нехай S і A є симетричною і кососиметричною частиною Δ:

$S(X,Y)={\tfrac {1}{2}}\left(\Delta (X,Y)+\Delta (Y,X)\right)$

$A(X,Y)={\tfrac {1}{2}}\left(\Delta (X,Y)-\Delta (Y,X)\right)$

Тоді

• $A(X,Y)={\tfrac {1}{2}}\left(T(X,Y)-T'(X,Y)\right)$ є різницею тензорів кручень двох зв'язностей.
• Зв'язності ∇ і ∇′ мають однакові геодезичні лінії якщо і тільки якщо S(X, Y) = 0. Еквівалентним твердженням є те, що для всіх векторів X із дотичного розшарування TM виконується рівність Δ (X, X) = 0.

Відповідно симетрична частина різниці зв'язностей визначає чи мають вони однакові геодезичні лінії. Якщо всі геодезичні лінії є однаковими то різниця між зв'язностями повністю визначається різницею між їх тензорами кручення. Зокрема якщо дві зв'язності мають однакові геодезичні лінії і тензори кручення то вони є однаковими.

Також у кожному класі зв'язностей із однаковими геодезичними лініями завжди існує зв'язність для якої тензор кручення є нульовим.

Зв'язок з тензором кривини і тотожності Біанкі

Тензором кривини афінної зв'язності ∇ називається відображення TM × TM → End(TM), що кожній парі векторних полів X, Y присвоює лінійне перетворення, дія якого на векторному полі Z визначається як:

$R(X,Y)Z=\nabla _{X}\nabla _{Y}Z-\nabla _{Y}\nabla _{X}Z-\nabla _{[X,Y]}Z.$

Значення тензора кривини, як і тензора кручень в кожній точці залежить лише від значення векторів у цій точці, а не всіх векторних полів. Нехай ${\mathfrak {S}}$ позначає циклічну суму по X, Y, and Z. Наприклад:

${\mathfrak {S}}\left(R(X,Y)Z\right):=R(X,Y)Z+R(Y,Z)X+R(Z,X)Y.$

Тензори кривини і кручень пов'язані такими рівностями, що називаються тотожностями Біанкі:

1. Перша тотожність Біанкі:

${\mathfrak {S}}\left(R(X,Y)Z\right)={\mathfrak {S}}\left(T(T(X,Y),Z)+(\nabla _{X}T)(Y,Z)\right)$

2. Друга тотожність Біанкі:

${\mathfrak {S}}\left((\nabla _{X}R)(Y,Z)+R(T(X,Y),Z)\right)=0$

Див. також

• Афінна зв'язність
• Тензор кривини

Джерела

• Hicks, Noel (1965), Notes on Differential Geometry, Van Nostrand, Princeton, N. J., ISBN 0442034105 (англ.)
• Kobayashi, S.; Nomizu, K. (1963). Foundations of differential geometry. John Wiley & Sons. ISBN 0-470-49647-9. (англ.)