Дужка Лі векторних полів

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

В диференціальній геометрії дужками Лі векторних полів або комутатором векторних полів називається оператор, що для двох векторних полів X і Y на гладкому многовиді M, визначає третє векторне поле, що позначається як [X, Y].

Векторне поле [X,Y] можна визначити як похідну поля Y в напрямку потоку визначеного полем X. Узагальненням дужки Лі є похідна Лі, яка є диференціюванням тензорного поля в напрямку потоку векторного поля X.

Дужки Лі є білінійним оператором і простір векторних полів на многовиді разом з цією операцією є нескінченновимірною алгеброю Лі.

Дужки Лі відіграють значну роль в диференціальній геометрії і диференціальній топології.

Визначення

[ред. | ред. код]

Дужки Лі векторних полів можна визначити кількома еквівалентними способами:

Векторні поля як диференціювання

[ред. | ред. код]

Векторне поле X на гладкому многовиді M можна визначити як оператор диференціювання на множині гладких функцій визначених на M (деталі у статтях дотичний простір і дотичний вектор). Окрім цього кожен оператор диференціювання задається через однозначно визначене векторне поле. Для гладких векторного поля X і функції f значення X(f) теж є гладкою функцією і тому для векторного поля Y має зміст вираз Y(X(f)). Дужка Лі, [X,Y], для векторних полів X і Y визначається як

Визначений так оператор [X,Y] є диференціюванням. Адитивність є очевидною, а правило добутку отримується з рівностей:

Відповідно [X,Y] є гладким векторним полем.

Потоки і границі

[ред. | ред. код]

Нехай потік для векторного поля X, а d позначатиме диференціал відображення. Тоді дужка Лі векторних полів X і Y в точці pM може бути визначена як

або еквівалентно:


Для доведення еквівалентності двох означень, спершу слід зауважити, що якщо є функцією на , де є відкритий інтервал і для всіх , то функція задовольняє властивості і де використані позначення , для .
Звідси випливає, що якщо є потоком векторного поля X то для будь-якої функції f на М існує функція така, що і . Ця функція визначається для кожного фіксованого для для деякого . Дійсно, якщо ввести функцію то для всіх і з попереднього існує функція для якої і
Позначимо тепер . Тоді
і звідси
що і доводить наше твердження.

Визначення в локальних координатах

[ред. | ред. код]

Вибравши локальну координатну систему на многовиді M з координатними функціями і позначивши асоційований локальний базис дотичного розшарування, локально векторні поля можна записати як

де and — деякі гладкі функції. Тоді дужки Лі в цих координатах визначаються як

Сама форма запису показує, що [X,Y] є векторним полем.

Якщо M є евклідовим простором Rn або його відкритою підмножиною то векторні поля X і Y можна записати як гладкі відображення і , а дужка Лі може бути визначена як

де і матриці Якобі відображень і відповідно.

Властивості

[ред. | ред. код]

Разом з операцією дужок Лі векторний простій всіх гладких векторних полів на M (тобто гладких перерізів дотичного розшарування многовида ) є алгеброю Лі, тобто [·,·] є відображенням з такими властивостями:

  • is R-білінійним відображенням, тобто для всіх векторних полів X,Y, Z;
  • і, еквівалентно, для всіх векторних полів ;
  • Ця властивість називається тотожністю Якобі;
  • Для гладкої функції f визначеної на M дужка Лі векторних полів X і fY задовольняє рівність
  • тоді й лише тоді коли X і Y локально комутують, тобто для всіх xM і достатньо малих дійсних чисел s, t виконується рівність .
  • Нехай тепер M, N — гладкі многовиди, F — гладке відображення між ними, dF — диференціал цього відображення, а X і Y — векторні поля на M. Тоді виконується рівність:
Для точки диференціал dF є відображенням з дотичного простору в дотичний простір таким що для функції за визначенням і тому Тож для довільних гладких векторних полів і всіх функцій
Звідси і отримується необхідна рівність.

Див. також

[ред. | ред. код]

Джерела

[ред. | ред. код]
  • Голод П. І., Клімик А. У. Математичні основи теорії симетрії. — К. : Наукова думка, 1992. — 368 с. (укр.)
  • Hazewinkel, Michiel, ред. (2001), bracket Lie bracket, Математична енциклопедія, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
  • Hicks, Noel (1965), Notes on Differential Geometry, Van Nostrand, Princeton, N. J, ISBN 0442034105 (англ.)
  • Kolar, I., Michor, P., and Slovak, J. (1993), Natural operations in differential geometry, Springer-Verlag, архів оригіналу за 14 лютого 2021, процитовано 2 грудня 2016
  • Lang, S. (1995), Differential and Riemannian manifolds, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94338-1
  • Warner, Frank (1983) [1971], Foundations of differentiable manifolds and Lie groups, New York-Berlin: Springer-Verlag, ISBN 0-387-90894-3