Теорема Морери

У комплексному аналізі Теорема Морери дає достатні умови аналітичності неперервних комплекснозначних функцій. Названа на честь італійського математика Гіасінто Морери.

Твердження

Якщо функція $f(z)\,$ комплексного змінного $z\,$ у відкритій області $D\,$ неперервна і інтеграл від неї по будь-якому замкнутому контуру $\Gamma \subset D$ рівний нулю, тобто

$\int \limits _{\Gamma }\,f(z)\,dz=0$

то $f(z)\,$ — аналітична функція в $D\,$.

Умову теореми можна послабити, обмежившись вимогою рівності нулю інтегралів, узятих по контуру довільного трикутника, що належить області $D\,$.

Доведення

В доведенні спершу знаходиться первісна для функції $f\,$, після чого твердження випливає з факту, що голоморфні функції є аналітичними.

Без втрати загальності можна вважати область $D\,$ зв'язаною. Зафіксувавши деяку точку $a\,$ в області $D\,$, визначимо функцію $F\,$ в $D\,$ наступною формулою:

$F(b)=\int _{a}^{b}f(z)\,dz.\,$

Інтеграл може бути взятий по довільній кривій в $D\,$ від $a\,$ до $b\,$. Функція $F\,$ є однозначно визначена оскільки з умови теореми випливає рівність інтегралів на усіх кривих від $a\,$ до $b\,$. Звідси отримуємо, що $f\,$ є похідною $F\,$  :

$F'(z)=f(z).\,$

Зокрема $F\,$ є голоморфною і, як наслідок, аналітичною. Відповідно $f\,$ також є голоморфною і аналітичною.

Застосування

Теорема Морери часто використовується при доведенні аналітичності функцій. Одним з центральних тверджень при цьому є те, що якщо послідовність $f_{n}\,$ аналітичних функцій рівномірно сходиться до функції $f\,$, то

$\oint \lim _{n\to \infty }f_{n}(z)dz=\lim _{n\to \infty }\oint f_{n}(z)dz=0$

тому, за теоремою Морери, гранична функція також буде голоморфною. Таким чином доводиться голоморфність багатьох функцій, визначених рядами і інтегралами, наприклад дзета-функції Рімана

$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}$

і гамма-функції

$\Gamma (\alpha )=\int \limits _{0}^{\infty }t^{\alpha -1}e^{-t}dt$

Література

1. Грищенко А.О., Нагнибіда М.І., Настасієв П.П. Теорія функцій комплексної змінної. — К.: Вища школа, 1994. — 375 ст.
2. Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука. — 1969, 577 стр.
3. Ahlfors, Lars, Complex Analysis, McGraw-Hill, ISBN 978-0070006577
4. Conway, John B. Functions of One Complex Variable I, Graduate Texts in Mathematics, Springer, ISBN 978-3540903284
5. Rudin, Walter, Real and Complex Analysis, McGraw-Hill, ISBN 978-0070542341
6. Zill Dennis G., Shanahan Patrick D., A first course in complex analysis with applications, Jones and Bartlett Publishers, Inc., ISBN 0763714372