В математиці формула Ейлера — Маклорена визначає тісний зв'язок між інтегралами і рядами. Названа на честь швейцарського математика Леонарда Ейлера і шотландського математика Коліна Маклорена.
Нехай p і q два цілих числа. Для 2k разів неперервно диференційованої на проміжку
, функції :
![{\displaystyle {\frac {f\left(p\right)+f\left(q\right)}{2}}+\sum _{j=p+1}^{q-1}f\left(j\right)=\int _{p}^{q}f(x)\,dx+\sum _{j=1}^{k}{\frac {b_{2j}}{(2j)!}}\left(f^{(2j-1)}(q)-f^{(2j-1)}(p)\right)+R_{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dba76e31dc59d577380f25daf4677ea73702b5f2)
де :
![{\displaystyle R_{k}=-\int _{p}^{q}f^{(2k)}(x){B_{2k}(x-\lfloor x\rfloor ) \over (2k)!}\,dx,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0f0598e100414bf556189f2ef5e38bcebe18011)
В даних формулах
позначає i-й многочлен Бернуллі,
— періодизований многочлен Бернуллі. Числа bi позначають числа Бернуллі : b1 = −1/2, b2 = 1/6, b3 = 0, b4 = −1/30, b5 = 0, b6 = 1/42, b7 = 0, b8 = −1/30.
Завдяки заміні змінних подібну формулу можна одержати для інтервалу межі якого не є цілими числами.
Достатньо довести справедливість для інтервалу
де
; загальна формула одержується за допомогою сумування.
Нехай g — функція неперервно диференційована на інтервалі
. Використовуючи властивість многочленів Бернуллі :
, одержуємо з інтегрування частинами :
Оскільки для
, виконується
, одержуємо :
Рекурентністю для k від 0 до 2p, приймаючи
, одержується :
З властивості :
, одержується :