Шарування

Шарування — геометрична конструкція у топології: кажуть, що на многовиді задано шарування розмірності $p$, якщо многовид «нарізано» (узгодженим чином в околі кожної точки) на «шари» розмірності $p$.

Найбільш дослідженими є 1-вимірні шарування, породжені траєкторіями неособливих векторних полів на многовиди, і шарування корозмірності 1.

Поняття шарування природним чином виникає, у тому числі, у теорії динамичних систем: так, для гіперболічних динамічних систем існують стійке та нестійке шарування.

Формальне означення

Кажуть, що на $n$-вимірному многовиді $M$ задано $p$-вимірне шарування, якщо многовид покрито картами $U_{i}$ з відповідними координатними відображеннями

$\varphi _{i}=(x_{i},\;t_{i})\colon U_{i}\to D^{p}\times D^{n-p},$

такими, що відображення переклейки мають вигляд

$\varphi _{i}\circ \varphi _{j}^{-1}(x,\;t)=(F_{ij}(x,\;t),\;T_{ij}(t)).$

Іншими словами, при переклійці друга («трансверсальна») координата визначається лише другою координатою.

У цьому випадку, розглядається відношення еквівалентності, породжене відношенням $p\sim p'$, якщо в одній з карт другі координаті точок $p$ та $p'$ збігаються. Клас еквівалентності точки $p$ називається тоді прошарком, що проходить через точку $p$.

Також, якщо яка-небудь (зазвичай, скінченна, і завжди корозмірності, не меншої 2) множина точок обраними картами не покривається, кажуть, що задано осбливе шарування (або шарування з особливостями), а ці точки називають особливими точками шарування.

Приклади

• Розбиття многовиду на траєкторії неособливого векторного поля визначає на ньому одновимірне шарування.
• Будь-яке (локально тривіальне) розшарування автоматично є шаруванням.
• Якщо задано дію фундаментальної групи многовиду $M$ на многовиді $N$,

$h\colon \pi _{1}(M)\to \mathrm {Diff} (N),$

то за ним будується надбудова — шарування , динаміка відображень голономії котрого моделює цю дію. А саме, декартовий добуток універсальної накриваючої над $M$ та $N$, — многовид ${\tilde {M}}\times N$ — з «горизонтальним» шаруванням на ньому факторизується за «діагональною» дією фундаментальної групи:

$\gamma (x,\;y)=(\gamma .x,\;h(\gamma )(y)).$

Так як ця дія зберігає горизонтальне шарування, це шарування опускається на фактор, визначаючи шукану надбудову.

• $p$-форма, яка у кожній точці многовиду задовольняє критерію Фробеніуса інтегровності поля площин, задає $p$-вимірне шарування цього многовиду;
• поліноміальне векторне поле у $\mathbb {C} ^{n}$ задає особливе двовимірне шарування.

Дотичне та нормальне розшарування шарування

Дотичні розшарування тотального многовиду шарування мають підрозшаруванням, вектори котрого дотикаються шарів, — це дотичне розшарування розшарування. Відповідне фактор-розшарування називається нормальним шаруванням розшарування.

Розшарування називається орієнтованим, якщо орієнтовано його нормальне розшарування. Відзначимо, що ні тотальний многовид, ні прошарки орієнтованого розшарування не зобов'язані бути хоча б орієнтованими.

Розшарування називається оснащеним, якщо його нормальне розшарування тривіальне та наділене визначеною тривіалізацією.

Властивості

• Теорема Новікова стверджує, що у довільного двовимірного розшарування тривимірної сфери є компактний прошарок.
• Аргумент Хефлігера показує, що для довільного некомпактного прошарку розшарування корозмірності 1 на компактному многовиді знайдеться перетинаюча цей прошарок трансверсальна до розшарування околу.

Див. також

• Шарування корозмірності 1
• Шарування Ріба
• Критерій Фробеніуса інтегровності поля площин.
• Розподіл, який визначає розшарування.

Література

• Тамура И. Топология слоений. — М: Мир, 1979.
• Фукс Д. Б. Слоения // Итоги науки и техн. Сер. Алгебра. Топол. Геом., 18, ВИНИТИ, М., 1981, 151—213.

Посилання

• Weisstein, Eric W. Foliation(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Фукс Д. Б. Характеристические классы слоений. — УМН, 28:2 (170) (1973), с. 3—17.