Локально тривіальне розшарування

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Локально тривіальне розшаруваннярозшарування, яке локально має вигляд прямого добутку.

Визначення[ред. | ред. код]

Нехай , і є топологічними просторами. Сюр'єктивне відображення називається локально тривіальним розшаруванням простору над базою з шаром , якщо для всякої точки бази існує окіл , над яким розшарування є тривіальним. Останнє означає, що існує гомеоморфізм , такий що комутативна діаграма

Local triviality condition.

Тут  — проекція добутку просторів на перший співмножник.

Простір також називається тотальним простором розшарування або розшарованим простором.

Пов'язані визначення[ред. | ред. код]

  • Перетин розшарування — це відображення , таке що . Взагалі кажучи, не кожне розшарування має перетин. Наприклад, нехай  — многовид, а підрозшарування векторів одиничної довжини в дотичному розшаруванні . Тоді перетин розшарування  — це векторне поле без нулів на . Теорема про причісуванні їжака показує, що на сфері такого поля не існує.
  • Множина називається шаром розшарування над точкою . Кожен шар гомеоморфний простору , Тому простір називається загальним (або модельним) шаром розшарування .
  • Гомеоморфізм , що ототожнює обмеження розшарування над околом точки з деяким тривіальним розшаруванням, називається локальною тривіалізацією розшарування над околом точки .
  • Якщо  — покриття бази відкритими множинами, і  — відповідні їм відображення тривіалізації, тоді сімейство називається трівіалізуючим атласом розшарування .
  • Припустимо локально тривіальне розшарування забезпечено покриттям бази з виділеною тривіалізацією і звуження будь-якого відображення звірення на шар належить деякій підгрупі групи всіх автоморфізмів . Тоді називається локально тривіальним розшаруванням зі структурною групою .

Приклади[ред. | ред. код]

  • Тривіальне розшарування, тобто проекція на перший співмножник.
  • Будь-яке накриття є локально тривіальним розшаруванням з дискретним шаром.
  • Дотичне, кодотичне і тензорні розшарування над довільним многовидом локально тривіальні.
  • Якщо на просторі задано неперервна вільна дія групи , то природне відображення є локально тривіальним розшаруванням. Розшарування такого типу називаються головними.
  • Лист Мебіуса — простір нетривіального розшарування над колом.
  • Розшарування Хопфа — це нетривіальне розшарування . Воно не має перетинів, бо воно є головним розшаруванням зі структурною групою , А будь-яке головне розшарування, що допускає перетин, тривіально.
  • Сконструювати розшарування можна, задавши довільно його базу (простір ), загальний шар (простір ) і відображення переходу (1-коцикл Чеха ) для якого-небудь відкритого покриття простору . Тоді простір формально можна отримати як множину трійок вигляду з правилом ототожнення:
, якщо

Властивості[ред. | ред. код]

  • Для локально тривіальних розшарувань вірна теорема про накриваючу гомотопію. Нехай задані  — локально тривіальне розшарування, відображення і , так що , і гомотопії відображення (). Тоді існує гомотопія відображення , така що діаграма комутативна
  • Нехай є локально тривіальне розшарування з шаром (іноді записуване формально як ). Тоді послідовність гомотопічних груп точна:
  • Відображення переходу задовольняють умові 1-коцикла Чеха:
Якщо , то .
  • Два розшарування над однією і тією ж базою і з одним і тим же загальним шаром ізоморфні тоді і тільки тоді, коли 1-коцикли Чеха, відповідні їм, когомологічні. (Зазначимо, що в разі, коли група некомутативна, одномірні когомології не утворюють групу, а утворюють множину, на якій діє (ліворуч) група 0-коланцюгів Чеха :
    ,
де  — 0-коланцюг Чеха, що діє на 1-коцикл Чеха . 1-коцикли називаються когомологічними, якщо вони лежать в одній орбіті цієї дії).
  • Для будь-якого локально тривіального розшарування і безперервного відображення індуковане розшарування є локально тривіальним.

Варіації і узагальнення[ред. | ред. код]

  • Локально тривіальні розшарування є окремим випадком
  • Якщо простори гладкі (диференційовні) многовиди, відображення  — гладке і допускає тривіалізуючий атлас з гладкими відображеннями тривіалізації, то само розшарування називається гладким розшаруванням.
  • Розшарування називається голоморфним, якщо простори комплексні многовиди, відображення  — голоморфне і існує трівіалізуючий атлас з голоморфними відображеннями тривіалізації.
  • Головне розшарування

Дивись також[ред. | ред. код]

Література[ред. | ред. код]

  • Васильев В. А. Введение в топологию. — М.: ФАЗИС, 1997. — 132 с. — ISBN 5-7036-0036-7