Дробовий броунівський рух

У теорії ймовірностей, дробовий броунівський рух, також відомий як фрактальний броунівський рух, є узагальненням броунівського руху.

На відміну від класичного броунівського руху, прирости дробового не обов’язково будуть незалежними.

Дробовий броунівський рух — це гауссівський процес з неперервним часом $B_{H}(t)$ на $[0,T]$, який починається з нуля, має нульове математичне сподівання для всіх $t$ з $[0,T]$, і має наступну коваріаційну функцію:

$E[B_{H}(t)B_{H}(s)]={\tfrac {1}{2}}(|t|^{2H}+|s|^{2H}-|t-s|^{2H}),$

де $H$ — це дійсне число з $(0,1)$, яке називають індексом або параметром Херста, асоційованим із $B_{H}(t)$.

Індекс Херста визначає грубість траекторій процесу, при цьому більше значення призводить до більш плавного руху.

Вперше дробовий броунівський рух з'являється у праці Мандельброта і Ван Несса (1968).

Значення $H$ визначає тип дробового броунівського руху:

• якщо $H=1/2$, то процес є звичайним броунівським рухом і має незалежні прирости;

• якщо $H>1/2$, то прирости процесу мають додатню кореляцію;

• якщо $H<1/2$, то прирости процесу від'ємну кореляцію.

Процес приростів, $X(t)=B_{H}(t+1)-B_{H}(t)$, називають дробовим гаусівським шумом.

Як і звичайний броунівський рух, названий на честь біолога 19 століття Роберт Броуна; дробовий гаусівський шум названий на честь математика Карла Фрідріха Гаусса.

Історя та означення

До появи дробового броунівського руху Lévy, (1953) використовував дробовий інтеграл Рімана–Ліувіля для визначення процесу

$B_{H}(t)={\frac {1}{\Gamma (H+1/2)}}\int _{0}^{t}(t-s)^{H-1/2}\,{\rm {d}}B(s)$

де інтегрування відбувається відносно білого шуму $dB(s)$.

Цей інтеграл виявляється погано придатним для застосувань дробового броунівського руху (Mandelbrot та van Ness, 1968, с. 424).

Натомість треба використати інший дробовий інтеграл за білим шумом, який називають інтегралом Вейля

$B_{H}(t)=B_{H}(0)+{\frac {1}{\Gamma (H+1/2)}}\left\{\int _{-\infty }^{0}\left[(t-s)^{H-1/2}-(-s)^{H-1/2}\right]\,{\rm {d}}B(s)+\int _{0}^{t}(t-s)^{H-1/2}\,{\rm {d}}B(s)\right\}$

для $t>0$ (та аналогічно для $t<0$).

Властивості

Самоподібність

Процес є самоподібним, оскільки в термінах розподілу імовірностей:

$B_{H}(at)\sim |a|^{H}B_{H}(t).$

Ця властивість пов’язана з тим, що коваріаційна функція є однорідною порядку $2H$, і може розглядатися як фрактальна властивість.

Стаціонарність приростів

Процес має стаціонарні прирости:

$B_{H}(t)-B_{H}(s)\sim B_{H}(t-s).$

Дробовий броунівський рух можна визначити іншим (еквівалентним) чином як самоподібний гауссівський процес із нульовим середнім, що починається з нуля та має стаціонарні прирости.

Залежність на великих проміжках

Для $H>1/2$:

$\sum _{n=1}^{\infty }E[B_{H}(1)(B_{H}(n+1)-B_{H}(n))]=\infty .$

Регулярність

Траєкторії дробового броунівського руху майже напевно не диференційовні.

Тим не менш, майже всі траєкторії є локально гельдерові будь-якого порядку, строго меншого за індекс Херста $H$: для кожної такої траєкторії, для будь-якого $T>0$ та для будь-якого $\varepsilon >0$ існує (випадкова) константа $c$ така, що для всіх $0<s,t<T$

$|B_{H}(t)-B_{H}(s)|\leq c|t-s|^{H-\varepsilon }.$

Траєкторії

Траєкторії дробового броунівського руху можна моделювати на комп'ютері , проте це будуть лише наближення, які можна сприймати як скінченний набір значень процесу. Три траєкторії з 1000 точок та індексом Херста рівним $0.75$ подано нижче.

$H=0.75$, траєкторія 1

$H=0.75$ траєкторія 2

$H=0.75$ траєкторія 3

Нижче подано траєкторії з 1000 точок, але для різних індексів Херста. Чим більше індекс, тим гладкіша крива утворюється. Це відбувається в наслідок корельованості приростів.

"H" = 0.15

"H" = 0.55

"H" = 0.95

Перший спосіб моделювання

Траєкторії можна змоделювати за допомогою методів генерації стаціонарних гаусових процесів з відомою коваріаційною функцією.

Найпростіший спосіб покладається на розклад Холецького коваріаційної матриці (пояснено нижче), яка на сітці розміром $n$ має складність порядку $O(n^{3})$. Більш складним, але швидшим для обчислень є метод Dietrich та Newsam, (1997), який застосовує циркулянт.

Припустімо, що ми хочемо змоделювати значення процесу в моменти часу $t_{1},\ldots ,t_{n}$ за допомогою розкладу Холецького.

• Сформуємо матрицю $\Gamma ={\bigl (}R(t_{i},t_{j}),i,j=1,\ldots ,n{\bigr )}$, де $R(t,s)={\frac {1}{2}}(s^{2H}+t^{2H}-|t-s|^{2H})$.

• Обчислимо $\Sigma$ --- квадратний корінь з матриці $\Gamma$, тобто $\Sigma ^{2}=\Gamma$. Грубо кажучи, $\Sigma$ — це матриця «стандартного відхилення», пов’язана з коваріаційною матрицею $\Gamma$.

• Побудуємо вектор $v$ з $n$ чисел, отриманих як незалежні випадкові величини із стандартним гаусовим розподілом.

• Якщо ми визначимо $u=\Sigma v$, то $u$ є шуканим наближенням.

Розклад Холецького потрібен для обчислення $\Sigma$. Альтернативний метод використовує власні значення матриці $\Gamma$:

• Оскільки $\Gamma$ є симетричною, невід'ємно визначеною матрицею, то всі власні значення $\ ,\lambda _{i}$ з $\Gamma$ задовільняють $\lambda _{i}>0$, ($i=1,\dots ,n$ ).

• Нехай $\Lambda$ буде діагональною матрицею власних значень, тобто $\Lambda _{ij}=\lambda _{i}\delta _{ij}$, де $\delta _{ij}$ — символ Кронекера. Ми визначаємо $\Lambda ^{1/2}$ як діагональну матрицю з елементами $\lambda _{i}^{1/2}$, тобто $\Lambda _{ij}^{1/2}=\lambda _{i}^{1/2}\,\delta _{ij}$.

Зауважимо, що результат є дійсним числом, оскільки $\lambda _{i}>0$.

• Нехай $v_{i}$ є власним вектором, пов’язаним із власним значенням $\lambda _{i}$. Визначимо $P$ як матрицю, $i$-й стовпець якої є власним вектором $v_{i}$.

Оскільки власні вектори є лінійно незалежними, матриця $P$ є оборотною.

• З цього випливає, що $\Sigma =P\Lambda ^{1/2}P^{-1}$, оскільки $\Gamma =P\Lambda P^{-1}$.

Другий спосіб моделювання

Відомо також, що

$B_{H}(t)=\int _{0}^{t}K_{H}(t,s)\,{\rm {d}}B(s)$

де $B$ - звичайний броунівський рух і

$K_{H}(t,s)={\frac {(t-s)^{H-{\frac {1}{2}}}}{\Gamma (H+{\frac {1}{2}})}}\;{}_{2}F_{1}\left(H-{\frac {1}{2}};{\frac {1}{2}}-H;H+{\frac {1}{2}};1-{\frac {t}{s}}\right).$

Де $_{2}F_{1}$ — гіпергеометрична функція.

Скажімо, ми хочемо змоделювати $B_{H}(t)$ в точках $0=t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{n}=T$.

• Побудуємо вектор $n$ чисел, отриманих як незалежні випадкові величини із стандартним гаусовим розподілом.

• Помножимо його покомпонентно на ${\sqrt {T/n}}$, щоб отримати прирости броунівського руху на $[0,T]$. Позначимо цей вектор $(\delta B_{1},\ldots ,\delta B_{n})$.

• Для кожного $t_{j}$ обчислимо

$B_{H}(t_{j})={\frac {n}{T}}\sum _{i=0}^{j-1}\int _{t_{i}}^{t_{i+1}}K_{H}(t_{j},s)\,{\rm {d}}s\ \delta B_{i}.$

Цей інтеграл може бути ефективно обчислений за допомогою квадратури Гаусса.

Див. також

• Броунівська поверхня
• Дробово інтегрована авторегресія ковзного середнього
• Мультифрактальна система
• Рожевий шум
• Розподіли Твіді

Література

• Beran, J. (1994), Statistics for Long-Memory Processes, Chapman & Hall, ISBN 0-412-04901-5.
• Craigmile P.F. (2003), "Simulating a class of stationary Gaussian processes using the Davies–Harte Algorithm, with application to long memory processes", Journal of Times Series Analysis, 24: 505–511.
• Dieker, T. (2004). Simulation of fractional Brownian motion (PDF) (Дипломна робота). Процитовано 29 грудня 2012.
• Dietrich, C. R.; Newsam, G. N. (1997), Fast and exact simulation of stationary Gaussian processes through circulant embedding of the covariance matrix., SIAM Journal on Scientific Computing, 18 (4): 1088—1107, doi:10.1137/s1064827592240555.
• Lévy, P. (1953), Random functions: General theory with special references to Laplacian random functions, University of California Publications in Statistics, т. 1, с. 331—390.
• Mandelbrot, B.; van Ness, J.W. (1968), Fractional Brownian motions, fractional noises and applications, SIAM Review, 10 (4): 422—437, Bibcode:1968SIAMR..10..422M, doi:10.1137/1010093, JSTOR 2027184.
• Orey, Steven (1970), Gaussian sample functions and the Hausdorff dimension of level crossings, Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und Verwandte Gebiete, 15 (3): 249—256, doi:10.1007/BF00534922, S2CID 121253646.
• Perrin E. et al. (2001), "nth-order fractional Brownian motion and fractional Gaussian noises", IEEE Transactions on Signal Processing, 49: 1049-1059. DOI:10.1109/78.917808
• Samorodnitsky G., Taqqu M.S. (1994), Stable Non-Gaussian Random Processes, Chapter 7: "Self-similar processes" (Chapman & Hall).

Додаткова література

• Sainty, P. (1992), Construction of a complex‐valued fractional Brownian motion of order N, Journal of Mathematical Physics, 33 (9): 3128, Bibcode:1992JMP....33.3128S, doi:10.1063/1.529976.