Коваріація

Коваріація (англ. Covariance) — в теорії ймовірностей та математичній статистиці, числова характеристика залежності випадкових величин. Сутність коваріації полягає в тому, що вона виникає внаслідок невизначеності результату перемножування двох сукупностей чисел .

Визначення

Коваріація двох випадкових величин $X,Y\,$ позначається як $\operatorname{Cov}(X,Y)$ і виглядає так:

$\operatorname{Cov}(X,Y) = \operatorname{E}[(X - \mu_{X})(Y - \mu_{Y})] = \operatorname{E}(XY) - \mu_{X} \mu_{Y}= \mu_{XY} - \mu_{X} \mu_{Y},$

де

$\operatorname{E}$ — оператор математичного сподівання

$\mu_{X}\,$ — середнє значення величини $X\,$

$\mu_{Y}\,$ — середнє значення величини $Y\,$

$\operatorname{E}(XY)$ — математичне сподівання добутку величин $X,Y\,$

$\mu_{XY}\,$ — це середнє значення добутку цих величин.

Це визначення має сенс за умови скінченності дисперсій випадкових величин.

Властивості

Якщо $X,Y\,$ — незалежні, то їх коваріація дорівнює нулю. Зворотне твердження не вірне.

Якщо X, Y, W, і V — дійснозначні випадкові величини і a, b, c, d — константи (тут слово "константа" вжито у значенні невипадкова величина), тоді наступні правила є простими наслідками означення коваріації:

$\operatorname{Cov}(X, a) = 0 \,$

$\operatorname{Cov}(X, X) = \operatorname{Var}(X)\ = \operatorname{D} (X),$ (дисперсія)

$\operatorname{Cov}(X, Y) = \operatorname{Cov}(Y, X)\,$

$\operatorname{Cov}(aX, bY) = ab\, \operatorname{Cov}(X, Y)\,$

$\operatorname{Cov}(X+a, Y+b) = \operatorname{Cov}(X, Y)\,$

$\operatorname{Cov}(aX+bY, cW+dV) = ac\,\operatorname{Cov}(X,W)+ad\,\operatorname{Cov}(X,V)+bc\,\operatorname{Cov}(Y,W)+bd\,\operatorname{Cov}(Y,V)\,$

Дивіться також

• Коваріаційна матриця
• Кореляція
• Коефіцієнт варіації
• Довірчий інтервал для коваріації випадкових величин
• Коваріаційний аналіз