Діедрична група

Ця сніжинка має діедричну симетрію правильного шестикутника

В математиці, діедрична група це група симетрій правильного багатокутника, яка включає обертання та відбиття. Діедрична група один з найпростіших прикладів скінченних груп, і вони відіграють важливу роль в теорії груп, геометрії та хімії.

Види запису

Існують два види запису діедричних груп пов'язаних із багатокутником з n сторонами. У геометрії група записується D_n, тоді як алгебрі та сама група позначається D_2n з метою вказання кількості елементів.

У цій статті, D_n (і іноді Dih_n) посилається на симетрії правильного багатокутника з n сторонами.

Визначення

Елементи

Шість осьових симетрій правильного шестикутника

Правильний многокутник з n сторонами має 2n різних симетрій: n обертальних симетрій і n осьових симетрій. Пов'язані обертання і відбиття утворюють діедричну групу D_n. Якщо n непарне, тоді кожна вісь симетрії поєднує середину сторони і протилежну вершину. Якщо n парне, тоді існує n/2 осей симетрій, які поєднують протилежні вершини. Так чи інакше, існує n осей симетрії і 2n елементів у групі симетрій. Відбиття відносно однієї з осей симетрії із наступним відбиттям відносно іншої осі рівноцінно обертанню на подвоєний кут між осями. Наступне зображення показує 16 елементів групи D₈ для знаку «Stop»:

Перший рядок показує ефект восьми обертань, другий — восьми відбиттів.

Структура групи

Як і з багатьма геометричними об'єктами, композиція двох симетрій правильного многокутника є симетрією. Ця операція надає симетріям алгебраїчну структуру скінченної групи.

Поєднання двох відбиттів дає обертання

Наступна таблиця Келі показує наслідки поєднань в групі D₃ (симетрій правильного трикутника). R₀ позначає тотжність; R₁ і R₂ позначають обертання на 120 і 240 градусів проти (руху) годинникової стрілки; і S₀, S₁, і S₂ позначають відбиття через три лінії показані на малюнку праворуч.

	R0	R1	R2	S0	S1	S2
R0	R0	R1	R2	S0	S1	S2
R1	R1	R2	R0	S1	S2	S0
R2	R2	R0	R1	S2	S0	S1
S0	S0	S2	S1	R0	R2	R1
S1	S1	S0	S2	R1	R0	R2
S2	S2	S1	S0	R2	R1	R0

Наприклад, S₂S₁ = R₁ бо відбиття S₁ із наступним відбиттям S₂ утворюють обертання на 120 градусів. (Це звичайний зворотний порядок композиції.) Композиція операцій не комутативна.

Загалом, група D_n має елементи R₀,...,R_n−1 і S₀,...,S_n−1, з композиціями заданими такими формулами:

$R_{i}\,R_{j}=R_{i+j},\;\;\;\;R_{i}\,S_{j}=S_{i+j},\;\;\;\;S_{i}\,R_{j}=S_{i-j},\;\;\;\;S_{i}\,S_{j}=R_{i-j}.$

В усіх випадках, додавання і віднімання індексів повинно виконуватись із використанням модульної арифметики з модулем n.

Матричне представлення

Симетрії п'ятикутника є лінійними відображеннями.

Якщо ми відцентруємо правильний многокутник в початку координат, тоді елементи діедричної групи діють як лінійні перетворення площини. Це дозволяє представити елементи D_n у вигляді матриць, тоді композиція буде добутком матриць. Це приклад (2-вимірного) представлення групи.

Наприклад, елементи групи D₄ можуть бути представлені такими вісьмома матрицями:

${\begin{matrix}R_{0}={\bigl (}{\begin{smallmatrix}1&0\\[0.2em]0&1\end{smallmatrix}}{\bigr )},&R_{1}={\bigl (}{\begin{smallmatrix}0&-1\\[0.2em]1&0\end{smallmatrix}}{\bigr )},&R_{2}={\bigl (}{\begin{smallmatrix}-1&0\\[0.2em]0&-1\end{smallmatrix}}{\bigr )},&R_{3}={\bigl (}{\begin{smallmatrix}0&1\\[0.2em]-1&0\end{smallmatrix}}{\bigr )},\\[1em]S_{0}={\bigl (}{\begin{smallmatrix}1&0\\[0.2em]0&-1\end{smallmatrix}}{\bigr )},&S_{1}={\bigl (}{\begin{smallmatrix}0&1\\[0.2em]1&0\end{smallmatrix}}{\bigr )},&S_{2}={\bigl (}{\begin{smallmatrix}-1&0\\[0.2em]0&1\end{smallmatrix}}{\bigr )},&S_{3}={\bigl (}{\begin{smallmatrix}0&-1\\[0.2em]-1&0\end{smallmatrix}}{\bigr )}.\end{matrix}}$

Загалом, матрицями для елементів з D_n мають такий вигляд:

${\begin{aligned}R_{k}&={\begin{pmatrix}\cos {\frac {2\pi k}{n}}&-\sin {\frac {2\pi k}{n}}\\\sin {\frac {2\pi k}{n}}&\cos {\frac {2\pi k}{n}}\end{pmatrix}}\ \ {\text{i}}\\S_{k}&={\begin{pmatrix}\cos {\frac {2\pi k}{n}}&\sin {\frac {2\pi k}{n}}\\\sin {\frac {2\pi k}{n}}&-\cos {\frac {2\pi k}{n}}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$

R_k — матриця повороту, яка уособлює обертання проти годинникової стрілки на кут 2πk ⁄ n. S_k — відбиття через лінію утворену кутом πk ⁄ n з віссю x.

Малі діедричні групи

Циклічний граф Dih₄
a — поворот за годинниковою стрілкою
і b — горизонтальне відбиття.

Для n = 1 ми маємо Dih₁. Такий запис рідко використовується, хіба для рядів, по це дорівнює Z₂. Для n = 2 маємо Dih₂, 4-група Клейна. Це два винятки з усієї серії:

• Вони абелеві; для всіх інших значень n група Dih_n не абелева.
• Вони не підгрупа симетричної групи S_n, через те, що 2n > n! для цих n.

Циклічні графи діедричних груп містять n-елементний цикл і n 2-елементних циклів. Темна вершина в циклічних графах різних діедричних груп знизу вказує на тотожний елемент, а інші вершини це інші елементи групи. Цикл містить послідовні ступені елементів зв'язаних з нейтральним елементом.

Циклічні графи

Dih1 = Z2	Dih2 = Z22 = K4	Dih3	Dih4	Dih5
Dih6 = Dih3×Z2	Dih7	Dih8	Dih9	Dih10 = Dih5×Z2

Див. також

• Двогранний кут

Література

Українською

• (укр.) Гаврилків В. М. Елементи теорії груп та теорії кілець. — І.-Ф.  : Голіней, 2023. — 153 с.